9/01/17

Fabricius e la pietra Lagrangiana - terza parte

In questa terza parte continuiamo ad esercitarci con la parola magica KappaU....

animku

                                      .... direbbero alla scuola di magia di Hogwarts

Io proseguo con il proporvi altre lagrangiane, questa volta di corpi vincolati a seguire delle traiettorie predefinite. Forse è un argomento di poco interesse per la meccanica celeste, vincoli di questo tipo non credo se ne trovino in cielo. Le propongo perché permettono di mettere in evidenza alcune caratteristiche importanti della lagrangiana e del metodo di Lagrange. Inoltre, c'è una ragione storica poiché proprio lo studio di questo tipo di problemi ha dato origine al metodo di Lagrange.

Il procedimento è ancora lo stesso:

  • scelgo le coordinate;

  • esprimo l'energia cinetica nelle coordinate scelte;

  • esprimo l'energia potenziale nelle coordinate scelte.

Le due parti precedenti di questo articolo le trovate qui e qui.

Prima di iniziare ripeto il mio appello, vi chiedo la cortesia di farmi sapere tramite i commenti se la lettura dell'articolo non ha incontrato le vostre attese per qualsiasi ragione (noiosa, poco chiara, troppo difficile, troppi dettagli inutili....). Sapendolo, forse, riesco a modificare qualcosa con l'aiuto dei vostri suggerimenti.

Una corsa in slittino

carrello-rettilineo2

Parto da un esempio banale, un corpo lanciato ad una certa velocità su un binario rettilineo orizzontale senza attrito, immagino un piccolo slittino lanciato su una pista rettilinea tracciata su un lago ghiacciato vincolato in qualche modo a mantenersi aderente alla pista. Quindi lo slittino non potrà che seguire la pista. 

A questo punto occorre scegliere le coordinate con le quali descrivere la corsa dello slittino. Viene naturale scegliere come coordinata proprio l'asse della pista, i paletti rossi ci fanno da scala graduata. Diamo un nome a questa coordinata, chiamiamola w. Le altre due coordinate del nostro spazio tridimensionale non servono perché sono fissate dal vincolo di seguire la pista, basta una sola coordinata per descrivere questo caso ed una sola coordinata deve entrare nella lagrangiana.

Ora occorre esprimere l'energia cinetica del nostro slittino nelle coordinate che abbiamo scelto, in questo caso il solo asse w. Poiché lo slittino può seguire solo questo asse, la sua velocità coinciderà proprio con quella lungo questo asse.

\large K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mv_w^2=\frac{1}{2}m\dot w^2

Ricordo che il simbolo con il punto sopra indica la derivata temporale.

Con l'energia cinetica siamo a posto. Vediamo ora l'energia potenziale.

Occorre capire quali forze sono in gioco. Allo slittino è applicata la forza di gravità (freccia gialla), ma anche la forza di reazione della pista che contrasta la forza di gravità (freccia blu). Potremmo considerare che queste forze si annullano tra loro, cosa che ci porterebbe ad ignorarle nella lagrangiana. Questo ragionamento porta ad un risultato corretto, almeno in questo caso, ma fa uso di caratteristiche specifiche del problema che stiamo vedendo. Lagrange diceva che il suo metodo avrebbe fatto uso di ragionamenti generali. Seguiamo la sua indicazione, se qui forse è eccessivo, servirà comunque per altri casi meno evidenti di questo.

Vediamo separatamente la forza di gravità e le reazioni della pista.

L'energia potenziale gravitazionale in questo caso è costante per qualsiasi posizione dello slittino.

\large U=mgh_p , è infatti il prodotto di tre costanti: m, la massa dello slittino; g, l' accelerazione di gravità nei pressi della superficie terrestre; hp, l'altezza alla quale si trova lo slittino che qui si mantiene costante al livello della pista.

Per approfondimenti sull'energia potenziale c'è questo articolo.

Nella nostra lagrangiana dovremmo sottrarre questo elemento costante, ma possiamo anche evitarlo. Il livello rispetto al quale misurare l'altezza lo possiamo scegliere noi. Ovviamente cambiando il livello di riferimento cambia il valore di U, ma non cambiano le differenze di energia potenziale tra due punti, che è ciò che conta.

Allora perché non scegliere proprio il livello della pista come livello 0? Se facciamo cosi abbiamo U=0 e ci evitiamo di portarci appresso questo elemento costante.

Niente di speciale, dovevamo trovare l'energia potenziale gravitazionale e l'abbiamo trovata. Scegliendo come livello di riferimento quello della pista abbiamo trovato che l'energia potenziale è sempre nulla e quindi non è necessario che appaia nella lagrangiana.

Ora occorre trovare l'effetto delle forze di reazione della pista e sarebbe un bel problema se non ci avessero pensato per noi Lagrange su una idea di d'Alambert. La loro soluzione è la più semplice possibile: ignoratele! Questa è la buona notizia di questa puntata. Qui si capisce il perché proprio lo studio di questo tipo di problemi ha dato origine alla metodo di Lagrange.

Questa utilissima possibilità vale quando il moto è vincolato ad una linea, anche se curva, o ad una superficie e le forze che questo vincolo esercita sono forze perpendicolari alla linea o alla superficie come accade quando non c'è attrito. Lagrange l'ha dimostrata e, almeno per il momento, conviene fidarci. Cercando di darmi una motivazione intuitiva ho pensato che queste forze in fondo servono a mantenere lo slittino sulla pista, ma questo già lo abbiamo messo nella nostra lagrangiana quando ci siamo limitati a considerare il movimento lungo l'asse w. È solo un tentativo di darmi una giustificazione intuitiva, niente di più.

Quindi nella lagrangiana di questo sistema c'è solo l'energia cinetica:

\large \boldsymbol{{\color{Blue} \mathfrak{L}=K=\frac{1}{2}m\dot w^2}}

In questa formula ci sono racchiuse tutte le informazioni per ricavare tutti i dettagli sul movimento dello slittino. In questo caso sono la posizione dello slittino nel tempo, w(t), e la velocità dello slittino nel tempo, vw(t) . Non abbiamo visto ancora gli strumenti per ricavare dalla lagrangiana queste grandezze, ma in questo caso il risultato è noto. La somma totale delle forze che agiscono sullo slittino è nulla, quindi continuerà a percorrere la pista mantenendo la sua velocità iniziale, fino a che l'approssimazione di ignorare l'attrito e le irregolarità della pista non reggerà più.

E se invece di una pista rettilinea avessimo una pista con delle curve?

 carrello-curvilineo2Partiamo ancora con la scelta delle coordinate da utilizzare. Sembrerebbe che qui non ce la possiamo cavare a buon mercato come nel caso precedente posizionando in modo conveniente uno degli assi delle coordinate.

Invece, sorprendentemente, possiamo trattare la lagrangiana quasi come nel caso precedente a patto che abbandoniamo le care coordinate cartesiane. In questo caso la coordinata più semplice e opportuna è ancora la pista stessa. Si è curva, ma non importa. Una delle caratteristiche della lagrangiana e del metodo che la usa è proprio quello di non essere esigente sulle coordinate da utilizzare. Gli va bene quasi tutto.

Anche su questa pista abbiamo i paletti che ci possono dare il valore della coordinata che chiamo s. Ad esempio, se i paletti sono distanziati di 100m, se passo il 5° paletto al 10° secondo, s(10)=500 ed il 7° paletto al 20° secondo s(20)=700 avrò percorso 200m in 10s. La coordinata s ci da quindi direttamente la distanza percorsa. La velocità media, che è la distanza diviso il tempo impiegato a percorrerla sarà:

\large \bar {v}=\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1} , che nell'esempio è 20 m/s.

Per intervalli di tempo piccoli, tendenti a 0, diventa la derivata di s rispetto a t, cioè la velocità istantanea che possiamo utilizzare per calcolare l'energia cinetica:

\large \begin{aligned} v & = \frac {ds}{dt}=\dot s \\ K & =\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m \dot {s}^2 \end{aligned}

Ora dovremmo trovare l'energia potenziale. Siamo in una situazione molto simile a quella dell'esempio precedente. L'energia potenziale gravitazionale è costante e quindi possiamo evitare di inserirla nella lagrangiana. Anche in questo caso il moto è vincolato ad una linea e le forze sono perpendicolari a questa linea. Quindi anche qui possiamo trascurare queste forze.

La differenza è che qui, oltre alle forze viste prima, ci sono anche le forze orizzontali che la pista esercita sul nostro slittino quando lo fa curvare per seguire il tracciato della pista. Queste forze sono comunque perpendicolari alla direzione della pista, stiamo sempre vedendo un caso ideale nel quale possiamo ignorare l'attrito e considerare lo slittino abbastanza piccolo da assimilarlo ad un punto. A differenza del caso precedente, queste forze orizzontali non sono compensate, infatti fanno deviare lo slittino dal percorso rettilineo, e gli fanno seguire la traiettoria curvilinea della pista. Comunque Lagrange ci permette di ignorarle nella lagrangiana.

La lagrangiana anche in questo caso è data dalla sola energia cinetica:

\large {\color{Blue} \boldsymbol{\mathfrak{L} =K =\frac{1}{2}m \dot {s}^2 }}

Non abbiamo ancora la luce Eulgrange, pardon gli strumenti per ricavare dalla lagrangiana il moto dello slittino. Ma già possiamo ottenere qualche informazione solo confrontando la lagrangiana di quest'ultimo esempio con quella della pista rettilinea dell'esempio precedente.

\large \mathfrak{L}=\frac{1}{2}m \dot{w}^2 \;\;\;\;\mathfrak{L}=\frac{1}{2}m \dot{s}^2

Sono uguali, c'è solo s al posto di w. Se è vero che nella lagrangiana c'è tutto e gli strumenti per ricavarlo sono sempre gli stessi, allora s(t) e ṡ(t) devono avere lo stesso andamento di w(t) e ẇ(t) del caso precedente. Quindi lo slittino manterrà la sua velocità iniziale anche in questo caso, ma dovendo percorrere una traiettoria curvilinea cambierà continuamente direzione per mantenere la velocità tangente alla pista.

Ora che ci siamo scaldati con questi casi semplici, vediamo un caso dove su una traiettoria vincolata agisce l'energia potenziale.

La lagrangiana di un corpo vincolato quando agisce la gravità: il pendolo

pendolo1Si tratta di un pendolo che idealizziamo assumendo che l'asta sia di massa trascurabile, che non ci siano attriti e che il pendolo possa oscillare solo su un piano verticale.

La traiettoria è quindi una curva circolare disposta verticalmente. Ricordando l'esempio precedente potrei usare un coordinata che segue la circonferenza, l'origine potrebbe essere nella posizione allineata con la verticale. Credo che andrebbe bene, ma in questo caso ci può essere utile utilizzare l'angolo θ per quando dovremo trovare l'energia potenziale. Non è che sia essenziale visto che l'angolo è la lunghezza dell'arco diviso il raggio, \bg_white \large \theta = \frac {s}{r} , ma così vediamo anche una coordinata che non rappresenta una lunghezza.

L'energia cinetica, come visto sopra, è:

\bg_white \large K =\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m \dot {s}^2

Dovremo rendere esplicito l'angolo θ in questa relazione. Sostituiamo ad s la sua espressione con θ e deriviamola rispetto al tempo, tenendo conto che qui r è costante:

\bg_white \large \begin{aligned} s & = r\, \theta \\ \dot{s} & = \frac {d\, r \theta}{dt} = r \frac {d\, \theta}{dt}= r \dot \theta \end{aligned}

Ora mettiamola nell'espressione dell'energia cinetica.

\bg_white \large K =\frac{1}{2}\, m\, {\color{Blue} \dot {s}^2}=\frac{1}{2}\, m\, {\color{Blue} r^2 {\dot {\theta}}^2}

Con l'energia cinetica ci siamo, ora passiamo all'energia potenziale.

Nel caso che stiamo vedendo possiamo considerare costante l'accelerazione dovuta alla gravità poiché il movimento del pendolo modifica di pochissimo la sua distanza dal centro della Terra. In questi casi l'energia potenziale dipende direttamente dall'altezza alla quale si trova la massa. L'altezza può essere misurata a partire da un livello arbitrario. Ovviamente cambiando il livello di riferimento cambia il valore di U, ma non cambiano le differenze di energia potenziale tra due punti, che è ciò che conta. Prendendo come riferimento l'altezza minima del pendolo avremo

U=mgh.

La lagrangiana sembrerebbe dipendere da due variabili θ ed h. Ma queste variabili non sono indipendenti: se varia una, forzatamente varia anche l'altra in modo determinato. Si tratta di trovare questa relazione. Dalla figura si può vedere come h dipende da θ:

\large \bg_white h=r (1-\cos (\theta ))

Quindi la lagrangiana di questo sistema è:

\bg_white \large \boldsymbol{ {\color{Blue} \mathfrak{L}=K-U=\frac{1}{2}\, m\, r^2 {\dot {\theta}}^2 - m g r (1- cos(\theta))}}

In questa terza parte abbiamo visto alcune lagrangiane di corpi vincolati a seguire traiettorie predefinite. Questi vincoli applicano delle forze di reazione all'oggetto che stiamo studiando che complicano il problema perché sono delle incognite aggiuntive. In assenza di attrito, queste forze possono essere considerate perpendicolari al vincolo e la lagrangiana consente di ignorarle. In questi casi è sufficiente un'unica coordinata anche curvilinea per descrivere il moto. L'energia cinetica e l'energia potenziale vanno espresse rispetto a questa coordinata.

Ora che abbiamo ottenuto una bella lagrangiana come quella del pendolo, come fare ad estrarre le informazioni che contiene?

Non è molto difficile, anzi spesso è più semplice di altri metodi. Ricordate la luce Eulgrange della prima parte di questo articolo?

La lagrangiana deve essere inserita in una equazione individuata da Lagrange utilizzando un risultato che aveva ottenuto in precedenza Eulero, l'equazione di Eulero-Lagrange. La vedremo nella prossima puntata.

Questa equazione richiede che si facciano alcune derivate della lagrangiana.

Cosa siano e come si facciano le derivate si trova molte bene spiegato nella serie di articoli elencati dal 23 al 30 in questo approfondimento. In particolare faremo uso di alcune delle derivate elencate nell'articolo al 27), delle operazione con le derivate dell'articolo al 26) e della derivata di una funzione di funzione dell'articolo al 28).

verso_eulrange_1

Intanto vi propongo un percorso di avvicinamento verso Eulgrange, l'equazione di Eulero-Lagrange, per iniziare a familiarizzare con queste derivate.

Se volete seguirlo l'accesso si trova qui.

 

 

 

 

La serie completa degli articoli sulla Lagrangiana la trovate QUI

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