4/02/17

Aberrazione della luce. 5bis: soluzione al quiz sull’orologio di luce **

Per una trattazione completa di questo argomento si consiglia di leggere il relativo approfondimento, nel quale è stato inserito anche il presente articolo.

 

Preferisco dare subito la soluzione o –meglio- l’interpretazione del QUIZ, che giudico la più corretta, Per non creare inutili confusioni. Capirete subito cosa intendevo mettere in luce.

Sì, lo ammetto, ho voluto fare il pignolo, anche se la soluzione datami è, in fondo, giusta… Tuttavia, vediamo di nuovo la Fig. 2 , mettendo i veri “nomi” ai vari “segmenti” e ricordando che la velocità della luce c è la stessa in qualsiasi sistema di riferimento.

Figura 2
Figura 2

Il primo sistema di riferimento è quello di chi sta fuori e vede A e S muoversi verso destra con una certa velocità v. Il suo tempo sia t. Il secondo sistema di riferimento è quello del viaggiatore. Lui  si considera fermo e per lui la luce emessa da A sale in S e torna nuovamente in A. Né A né S si sono mossi. Il suo tempo è ancora t (i tempi propri sono sempre uguali).  Ne deriva che il percorso AS o A’S’ deve essere scritto come

d = c t

Così apparirebbe al viaggiatore e allo spettatore esterno se tutto fosse fermo. Come il viaggiatore si muove, il suo tempo proprio rimane lo stesso, ma non quello che osserva chi sta fuori e assiste alla scena. Per lui il viaggiatore ha un tempo t’.

Ne segue che:

AA’ = v t’

Analogamente:

AS’ = c t’

Sappiamo, però, molto bene che:

t’ = t γ

dove

γ = 1/( 1 – (v/c)2)1/2

Poniamo v/c = β

Imponendo c = 1, v = β.

Il fattore di Lorentz γ, si può scrivere:

γ = 1/( 1 – β 2)1/2

 

Nella Fig. 2 ad ogni t’, dobbiamo sostituire  γt e quindi le varie  lunghezze vengono riferite allo  stesso sistema di riferimento e valgono:

AA’ =  β γ t

A’S’ = t

Adesso possiamo uguagliare AA’ e A’S’ (i tempi sono gli stessi):

β γ t = t

β γ  = 1

β = 1/γ

Ricordando il valore di γ, si ha

β = (1 - β 2)1/2

β2 = 1 - β 2

2 = 1

β = 1/√2

β = 0.7071

Non stupitevi se il risultato è lo stesso trovato in modo “brutale”. L’importante è avere capito il succo e sapere che cosa scrivere vicino ai vari segmenti, riferendoci sempre a un unico sistema di riferimento.

Ricordiamoci, infatti, che il viaggiatore vede sempre la luce rimbalzare verticalmente sullo specchietto, mentre è l’osservatore esterno che la vede descrivere una specie di zig-zag.

Dato che tutto avviene nello stesso intervallo di tempo t, possiamo anche considerare

t = 1

I segmenti diventano quelli riportati in Fig. 3. Questa ipotesi porta una descrizione  che ci tornerà molto utile quando disegneremo l’ellisse di aberrazione, quella da utilizzare per sapere cosa e come si vede da un astronave che viaggia a grande velocità tra le stelle.

Figura 3
Figura 3

AS = A’S’ = 1

AA’ = γ β

A’S = γ

E tutto torna… nel nostro caso particolare, infatti:

AA’ = 1

A’S’ = 1

Da cui (con Pitagora):

1 + 1 = γ2

γ = √ 2

Scusate se ho, probabilmente, complicato qualcosa di apparentemente semplice. Tuttavia, le ragioni di questa specie di quiz era arrivare a due conclusioni:

1) Non legare mai lo spostamento apparente lungo l’asse delle x con la velocità v, per non correre il rischio di pensare che la visione di un triangolo AA’S isoscele voglia dire che si stia viaggiando si muove alla velocità della luce. Forse nessuno di voi avrebbe mai corso questo rischio, ma…

2) Ragionare solo in termini di β e γ, ponendo sia t che c uguali a 1 e v = β. Questa rappresentazione “sintetica” ci permetterà di lavorare meglio con l’ellisse di aberrazione, attraverso una figura come la Fig. 3.

Ecco un bel filmato riassuntivo, preparato dall'insostituibile Paolo!

Animazione Orologio Luce

Forse non si capisce ancora bene cosa c’entri l’aberrazione annua con questa famosa ellissi (poco spiegata nei pochi testi che la riportano e, quasi sempre, data per buona). Abbiate fiducia e tutti i vari pezzi convergeranno, un po’ alla volta.

La prossima volta torneremo dai nostri dei mitologici e come dignitari potremo considerare due Achille, dal piè veramente veloce! Faremo un nuovo quiz, ma questa volta senza creare confusione!

 

 

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