21/03/17

Aberrazione della luce. 10: un viaggio verso il Sole **

Per una trattazione completa di questo argomento si consiglia di leggere il relativo approfondimento, nel quale è stato inserito anche il presente articolo.

 

Dopo aver trattato, in modo abbastanza accurato, l’aberrazione, il redshift e il blueshift relativistici, nonché la dilatazione del tempo, utilizzando una figura a quattro dimensioni, vogliamo costruire passo dopo passo un viaggio verso il Sole a velocità più o meno relativistica. Il tutto senza formule e semplificando un poco la trattazione.

Come esercizio conclusivo sull’aberrazione della luce, cerchiamo di costruire una specie di filmato relativo a un viaggio verso il Sole (l’astronave non subisce effetti … termici) e confrontare ciò che si vede dagli oblò dell’astronave con quello che vedrebbe un alieno posto molto lontano da lei, in un sistema di riferimento diverso e praticamente immobile (si fa per dire…).

Il nostro “filmato” si compone solo di fotogrammi messi in fila. Per seguire meglio, visivamente, i vari passaggi ci limitiamo alla aberrazione non relativistica e introduciamo, in modo un po’ semplificato e solo alla fine, l’ellisse relativistica per aggiungere indicativamente i colori. Ovviamente, è abbastanza facile, per chi ne abbia voglia, fare i calcoli completi per ottenere una figura (o filmato) perfettamente relativistica (le formule le abbiamo già ottenute tutte).

Spieghiamo, innanzitutto, la Fig. 59. Cerchiamo di capirla bene non solo per la spiegazione del filmato, ma anche per ripassare ciò che normalmente si vede alzando gli occhi al cielo ogni notte. E’ quindi utile a tutti, anche ai meno esperti.

Figura 59
Figura 59

Essa non è altro che la rappresentazione simultanea di ciò che capita realmente nello spazio e di ciò che noi vediamo in cielo. In altre parole, essa descrive sia ciò che riesce a vedere un alieno posto lontano sia dalla nostra astronave che dal Sole, sia quello che, invece, vediamo noi che siamo sopra l’astronave A.

Iniziamo a considerarla ferma rispetta al Sole (la pallina arancione). L’alieno vede l’astronave  in A e il Sole nella posizione 1. Immaginiamo, adesso di prendere il Sole e di spostarlo nella posizione 2. Non abbiamo ancora parlato di velocità, abbiamo solo preso il Sole con delle pinze speciali e l’abbiamo spostato in un’altra posizione (gli alieni sanno fare di tutto). L’alieno, adesso, vede l’astronave sempre in A e il Sole in 2, mentre chi sta sull’astronave vede il Sole 2 proiettato sulla sua  sfera celeste, di cui A è il centro, nella posizione 2.

Richiamiamo cos’è la sfera celeste. Essa è una sfera ipotetica che ha l’osservatore nel centro e  un raggio qualsiasi. Infatti, non interessa sapere quanto valga il raggio, dato che tutti gli oggetti che sono visti dall’osservatore sono proiettati sulla superficie sferica della sfera celeste. In altre parole, siamo liberi di disegnarla con qualsiasi raggio vogliamo. Quello che conta è l’angolo sotto cui l’osservatore vede l’oggetto celeste rispetto a una direzione fissa nel cielo. Ad esempio, l’angolo θ che il Sole in 1 fa con la stella S, supposta all’infinito, visto da A. Questo angolo rimane sempre lo stesso sia accorciando che aumentando il raggio della sfera celeste. La faccenda risulta ancora più evidente se consideriamo il diametro di un oggetto relativamente vicino, come il Sole, posto in 2. L’alieno vede il Sole sempre grande uguale (ha certe dimensioni angolari che non cambiano mai, data la grande distanza a cui si trova), ma l’osservatore in A lo vede più grande di quanto non l’abbia visto in 1 (dato che adesso il Sole è molto più vicino).

Le dimensioni angolari del Sole sono cambiate, ossia l’angolo colorato in arancione (relativo al Sole 2) è più grande di quello relativo al Sole 1, ma è più piccolo di quello del Sole 3. A questo punto, è del tutto analogo se proiettiamo il Sole su una  sfera celeste qualsiasi, dato che il diametro apparente del Sole visto da A rimane sempre lo stesso. Non per niente, quando parliamo di dimensioni del Sole visto dalla Terra lo facciamo in termini di angolo e diciamo che vale circa trenta primi d’arco. Tutto questo discorso (forse ovvio per la maggior parte dei lettori) è stato fatto solo per poter scegliere la sfera celeste a una certa distanza da A, favorevole per il disegno.

La immaginiamo passare per il Sole in 1, ma abbiamo capito benissimo che potevamo prenderla con un raggio enormemente più grande come anche con uno più piccolo. Ovviamente, per una stella S, a distanza enorme, non si parla normalmente di diametro angolare, ma solo di posizione sulla sfera celeste. Per lei, qualsiasi raggio si voglia dare alla sfera celeste, il risultato è lo stesso: un punto è e un punto rimane.

Ricapitoliamo la Fig. 1 per meglio comprendere ciò che abbiamo voluto puntualizzare. Mettiamoci nelle condizioni di un alieno che vede il tutto da lontano. A lui non interessa la sfera celeste di A, ma la sua, che è proprio il piano del foglio. Lui non ha bisogno di rappresentare la circonferenza nera né le dimensioni angolari del Sole viste dall’astronave. Lui vede solo l’astronave A e il Sole posto sempre in uno stesso punto del suo piano. Immaginiamo che l’astronave viaggi a una certa velocità v verso sinistra , piccola o grande che sia. Immaginiamo, anche che l’alieno abbia puntato il suo telescopio su A e che quindi lo mantenga fisso in quella direzione. In un certo intervallo di tempo gli sembrerà che sia il Sole a muoversi da 1 a 2 a 3, fino a 7. In conclusione, vede il Sole muoversi lungo la linea retta p con una velocità uguale a -v.

Le dimensioni della nostra stella sono sempre uguali e ciò che vede cambiare è solo la posizione relativa del Sole rispetto all’astronave. Può dire tranquillamente che in 3 la nave ha raggiunto il punto più vicino e in 7 quello più lontano. Il moto apparente del Sole rispetto all’astronave avviene nel piano del foglio perpendicolare al suo telecopio.  Sarebbe facilissimo fare un filmato che rappresenti questa visione aliena: basterebbe far muovere una pallina gialla verso destra, lungo una retta con un puntino nero fermo al centro (l’astronave A), oppure lasciare ferma la pallina gialla e far muovere l’astronave A verso sinistra. La faccenda è del tutto equivalente, ma a noi fa più comodo per il disegno immaginare ferma l’astronave e far muovere il Sole.

Consideriamo, adesso, la stessa Fig. 1, entrando dentro l’astronave A. La circonferenza rossa ha per raggio il vettore velocità della luce c, proprio quella che hanno i fotoni che partono dal Sole o dalle stelle e che giungono fino ad A sfera celeste (basta assumere che il tempo per arrivare dal cerchio all’astronave sia uguale a un secondo e il raggio diventa proprio uguale a c moltiplicato 1).

L’astronave è  ancora ferma e quindi i fotoni arrivano tutti assieme per oggetti che hanno la stessa distanza da A. All’istante iniziale giungono su A i fotoni delle stelle S e del Sole in 1, ovviamente partiti in tempi diversi (molto prima per le stelle e poco prima per il Sole). Cosa vede l’osservatore in A in quell’istante? Vede tutto proiettato sulla sua sfera celeste (che può avere un raggio qualsiasi). Le stelle S sono in una certa direzione e il Sole nella direzione 1 con un diametro angolare che è dato dall’angolo sotto cui l’osservatore vede il diametro vero del Sole alla distanza in cui esso si trova in quell’istante (ossia alla distanza tra 1 e A).

Come vedremo tra poco, Il fatto che 1 e 1 coincidano si deve solo (lo ripetiamo ancora una volta) al fatto che abbiamo scelto di rappresentare la sfera celeste proprio con un raggio uguale a questa distanza. Una questione di spazio utile per disegnare e di necessità di non tracciare troppe linee che disturbino la visione complessiva del disegno. Tutto lì.

Sarebbe bello far muovere subito l’astronave e vedere cosa succede, ma dobbiamo pazientare un attimo. Sappiamo già dagli articoli precedenti che questa situazione porterebbe a un caos terrificante: colori che cambiano, direzioni che si spostano, tempi che si dilatano e altro ancora. Dobbiamo quindi andare per gradi se vogliamo fare un filmato abbastanza realistico.

Nota bene: ricordiamo ancora che per vedere il vero moto dell’astronave dovremmo mettere il Sole al centro e far viaggiare l’astronave. Tuttavia, per comodità di disegno ci conviene entrare nel sistema di riferimento dell’astronave per la quale è il Sole che viaggia a velocità uguale e contraria alla sua. L’astronauta è convinto di essere fermo. In parole povere, possiamo illustrare il tutto considerando l’astronave ferma e il Sole che si muove lungo p.

Mettiamo pure in moto l’astronave verso sinistra, ma fermiamola ogni volta che il Sole raggiunge (rispetto all’astronave considerata sempre in A) i punti da 1 a 7. In altre parole, trascuriamo ciò che vede A durante il suo moto e apriamo gli occhi solo quando l’astronave si ferma. In quei momenti tutte le varie deformazioni spariscono. Facciamo quindi un filmato composto di 7 fotogrammi, separati temporalmente tra loro. Dato che sono presi quando l’astronave è ferma, non sono minimamente toccati dalla teoria di quel signore che conosciamo ormai molto bene, ossia il dott. Einstein.

Cosa vede l’osservatore in A? In 1 vede il Sole di dimensioni angolari piuttosto piccole che dipendono solo dalla distanza a cui si trova la stella in quel momento. In 2 vede il Sole, che si trova realmente in 2, proiettato sulla sfera celeste in 2, con dimensioni angolari che sono date dall’angolo sotto cui A vede il Sole 2 (angolo arancione).

Attenzione! Le dimensioni di 2 sembrano enormi rispetto a quelle di 2, ma quest’apparenza dipende solo da dove abbiamo messo la sfera celeste. Se la ponessimo ancora più lontana, le dimensioni sembrerebbero ancora più grandi. Ma, in realtà, non è assolutamente vero! Le dimensioni che contano sono quelle angolari e l’angolo non cambia cambiando il raggio della sfera celeste. Ciò che noi vediamo nel cielo sono proprio le dimensioni angolari che dipendono solo dalle dimensioni reali del Sole e dalla sua distanza in quel determinato istante.

Altro spostamento di A ed eccoci (fermi) in 3. Il diametro angolare del Sole è ancora cresciuto. D’altra parte è ovvio, dato che siamo alla distanza minima tra astronave e stella. Anche l’alieno sarebbe perfettamente d’accordo con noi, dato che anche lui vedrebbe il Sole e A alla minima distanza. Il Sole, poi, si allontana diventando sempre più piccolo (angolarmente) fino ad apparire come un dischetto appena percettibile in 7.

Attenzione! In questo caso la sfera celeste scelta ha addirittura un raggio minore della distanza reale astronave-Sole, ma ormai sappiamo  che conta ben poco. L’apparenza nel cielo non dipende assolutamente dal raggio scelto per la sfera di riferimento.

A questo punto, possiamo preparare il filmato che mostra cosa si vede dall’astronave durante il suo viaggio verso il Sole fino al sorpasso e all’allontanamento. Un filmato che va a scatti, però, eliminando in tal modo gli effetti dell’aberrazione e, a maggior ragione, quelli relativistici. Esso mostra un disco solare che da piccolo diventa grande e poi torna a diminuire. Insomma niente di speciale e di veramente strano.

A costo di essere pedanti,  mostriamo questo “filmato” nella Fig. 60.

Figura 60
Figura 60

Nel fotogramma 1 abbiamo anche inserito la stella S. Negli altri fotogrammi la stella è sempre nella stessa posizione e, quindi, non si vede più vicino al Sole che è si è spostato, mentre lei è rimasta al suo posto, dato che il movimento dell’astronave è ridicolo rispetto alla sua distanza. Notate anche che, per guardare i panorami raffigurati nei fotogrammi, l’osservatore in A ha dovuto spostarsi dal finestrone di prua a quello di poppa. Infatti 1 si vede praticamente nella direzione del moto, mentre 7 si vede in direzione quasi opposta. Ripetiamo ancora che i sette fotogrammi sono immagini riprese su una piccola parte della sfera celeste, dove il Sole sembra muoversi. I tempi tra i fotogrammi variano a seconda del tempo che l’astronave ha impiegato tra le varie fermate. A noi, per adesso, non interessano. Tuttavia, dato che i tempi si misurano a nave ferma, l’orologio di bordo e quello dell’alieno danno gli stessi risultati (a parte la differenza costante dovuta al tempo che la luce del sistema Sole-astronave impiega a giungere fino al simpatico osservatore extraterrestre).

Sì, lo ammetto, non è un gran bel filmato e tutti potevamo immaginarcelo. Non differisce molto da quello che vedremmo andando in macchina verso un enorme pallone e poi lasciandocelo alle spalle.

Le cose cambiano completamente se decidiamo di costruire un filmato continuo durante tutto il viaggio, senza mai fermare la nave e facendola andare a velocità molto alta, fino a essere comparabile a quella della luce. Più o meno sappiamo già cosa succede, dato che abbiamo letto gli articoli precedenti. Ci aspettiamo che quando il Sole è davanti all’astronave il suo colore appaia azzurro o violetto e molto luminoso anche se ancora lontano. Situazione opposta dopo averlo sorpassato: il suo colore tende al rosso sempre più scuro e anche i tempi relativi ai vari fotogrammi subiscono deformazioni.

Tuttavia, per ricostruire i colori e i tempi, dovremmo considerare l’ellisse che abbiamo costruita utilizzando il fattore di Lorentz. Si può sicuramente fare, ma  complicheremmo di molto le cose fino a fare un po’ di confusione (si dovrebbero calcolare gli angoli di spostamento seguendo la formula relativa). Limitiamoci, perciò, a vedere come le immagini prese dalla nave in movimento deformino la posizione e la grandezza del Sole, attraverso una semplice costruzione grafica. Alla fine, potremo tranquillamente anche aggiungere i relativi colori. La parte più importante del filmato sarà, comunque, compresa appieno. Già così la trattazione non è banalissima. Andate quindi con calma e seguiamo passo passo le varie costruzioni.

Non spaventiamoci della Fig. 61 che andiamo a spiegare senza fretta e in modo particolareggiato.

Figura 61
Figura 61

In  fondo, eseguiamo soltanto ciò che è stato fatto negli articoli iniziali per l’aberrazione annua, sommando il vettore velocità della luce c a quello - v, uguale e contrario alla velocità v dell’astronave. Il procedimento lo ripetiamo nella Fig. 62 e poi lasciamo ai lettori l’applicazione a tutte le configurazioni.

Figura 62
Figura 62

Ricordiamo solo, ancora una volta, che la somma dei vettori la eseguiamo SOLO per trovare la direzione apparente da cui proviene il fotone e NON per determinare il valore del vettore risultante, che deve sempre essere uguale a c (la velocità della luce è la stessa in tutti i sistemi di riferimento, siano fermi o in movimento). In altre parole, ci serve solo per determinare la direzione apparente del Sole mentre l’astronave sta viaggiando. Tuttavia, dato che il Sole ha dimensioni reali non trascurabili, se viste dall’astronave, i fotoni che arrivano dal bordo più lontano vengono deviati in modo diverso da quelli che provengono dal bordo più vicino. Ne consegue che anche le dimensioni apparenti (angolari) del Sole vengono cambiate durante il viaggio dell’astronave e in modo sempre diverso a seconda della direzione.

Le stelle S, invece, vengono spostate in S una volta per tutte, dato che la loro direzione non varia durante tutto il viaggio (rimangono sempre molto lontane anche se ci si muove in direzione del Sole a velocità vicina a quella della luce). Lo sfondo della sfera celeste su cui si muove il Sole apparente non cambia durante il viaggio, ma solo nel breve periodo di tempo necessario per raggiungere la velocità di crociera v (noi lo immaginiamo quasi istantaneo). In quel brevissimo tempo le stelle si spostano da S a S. Poi stanno ferme.

La Fig. 62 ci mostra come abbiamo calcolato il Sole 3 a partire da quello 3. Esso è rappresentato dal disco verde. Abbiamo eseguito la somma dei vettori relativi ai fotoni che partono dai bordi di 3 e la velocità – v (velocità apparente del Sole). Poi abbiamo traslato la direzione del vettore risultante fino a farla passare per A. Il punto in cui essa tocca la sfera celeste è il bordo del Sole. Ne derivano, quindi, sia la direzione apparente che le dimensioni del Sole come appaiono all’astronave. Lo stesso procedimento è stato seguito per trovare la posizione aberrata S della stella S. Come si nota facilmente, il Sole sembra trovarsi decisamente più vicino alla direzione dell’astronave, così come la stella. Anche le dimensioni del Sole appaiono più piccole di quelle che si avevano da fermi nella posizione 3.

Non è difficile completare la Fig. 61. Come si vede bene, appena partiti, il Sole si restringe e si avvicina alla traiettoria. Lo stesso fa la stella. L’apparenza è, quindi, quella di allontanamento del Sole, dato che diventa più piccolo e diminuisce la distanza tra la stella e lui. Tuttavia, in breve, il Sole inizia a ingrandirsi, anche se è sempre più avanti della posizione che avevamo trovato nella Fig. 59. A mano a mano che il Sole si avvicina, le sue dimensioni restano pressoché costanti, come anche dopo che lo abbiamo effettivamente sorpassato e guardiamo dal finestrone laterale. Poi si allontana e diminuisce il diametro angolare, ma molto meno di quanto non farebbe se visto ad astronave ferma. Malgrado sia quasi perfettamente dietro l’astronave, l’osservatore lo vede spostato in avanti nel finestrone posteriore.

La Fig. 63 rappresenta ciò che vede l’osservatore spostandosi da un finestrone all’altro mentre l’astronave viaggia alla velocità v. Confrontatelo con la Fig. 60 che è quella del filmato preparato con singoli fotogrammi. In posizioni, che per l’alieno sono esattamente le stesse (da 1 a 7), l’osservatore in moto vede il Sole ben diversamente da quando faceva le continue interruzioni.

Figura 63
Figura 63

Ragioniamo un poco. La costruzione delle direzioni apparenti del Sole durante il viaggio sono date solo e soltanto dalla somma vettoriale di vettori che rimangono costanti (c e  -v). Cambiano solo le direzioni reciproche e quindi la direzione del vettore risultante. In questo modo si ottengono esattamente le direzioni “piegate” a causa dell’aberrazione classica. Non abbiamo introdotto la relatività ristretta. I veri dischetti li potremmo disegnare solo introducendo l’ellisse di aberrazione relativistica, seguendo le formule ricavate nei capitoli precedenti. Niente di speciale, ma direi che il nostro viaggio è già stato abbastanza articolato.  Limitiamoci a utilizzare ciò che ci ha descritto l’aberrazione classica e aggiungiamo solo i colori che vengono regalati dall’effetto doppler relativistico. Non è comunque difficile passare a una versione più completa e accurata, che invito i più bravi a eseguire, utilizzando l’ellisse di aberrazione.

Possiamo anche introdurla, in prima approssimazione, allungando la circonferenza di partenza (in cui tutti fotoni arrivavano con la stessa lunghezza d’onda) attraverso il fattore di Lorentz. Fatto questo, prolunghiamo le direzioni già ottenute precedentemente (non sono quelle esatte, in realtà, ma noi ci accontentiamo) fino a incontrare questa ellisse. A volte le linee sono più lunghe e a volte più corte del raggio della circonferenza di partenza, ossia a volte la frequenza aumenta e a volte diminuisce,come già discusso negli articoli precedenti. La lunghezza di queste linee ci permette di capire il colore che assume il dischetto del Sole.

Possiamo, perciò, inserire anche i colori nel filmato e determinare quando il Sole viene visto con il suo vero colore, ossia quando la frequenza della sua luce è quella non “deformata”. Ciò capita quando la direzione del dischetto apparente raggiunge l’intersezione tra ellisse e cerchio originario. Infatti, in quel punto la frequenza della luce è uguale a quella con l’astronave ferma. La direzione 3 è quella che meglio approssima questo punto.

La Fig. 64 riassume quanto abbiamo detto, fermo restando che è stata fatta un’approssimazione sempre più importante al crescere della velocità.

Figura 64
Figura 64

Chi non vuole accontentarsi, può, come già detto, fare qualche calcolo in più (anche usare il solo "righello" nella famosa ellisse) e ottenere una rappresentazione esatta. Si noterà, anche, che una sfera in movimento resta praticamente una sfera, dato che giocano insieme sia contrazione delle lunghezze che dilatazione del tempo. Ricordiamoci, a riguardo, quanto si era visto QUI e QUI, che diventa ancora più peculiare nel caso della sfera.

Mostriamo anche un vero "filmato" che, però, considera anche l'accelerazione e  non mette molto in evidenza i colori.

https://jila.colorado.edu/~ajsh/insidebh/hyperlight_640x480_ms.avi

Un dubbio per concludere: chissà se Celestia è capace di darci il risultato in quattro e quattr'otto?

 

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