15/10/18

Ruotiamo un secchio pieno d'acqua e ... vediamo le stelle **

Questo articolo è stato inserito nella pagina d'archivio dedicata all'ottica, in "Fisica Classica"

 

Uno dei tipi di telescopio più famosi porta il nome di uno scienziato altrettanto famoso. La sua caratteristica principale è l’obiettivo formato da uno specchio che ha una particolare forma, capace di eliminare un certo tipo di difetto che limita le prestazioni del suo compagno “sferico”. Teoricamente (ma anche praticamente), chiunque può costruire “in casa” questo tipo di obiettivo (il metodo è stato utilizzato professionalmente).

La domanda di base è: “Come fare a costruire facilmente questo tipo di obiettivo?”. La risposta  va oltre alla semplice spiegazione e apre interessanti sviluppi sia per la fisica classica che per l’ottica geometrica applicata ai telescopi.

Il metodo pratico è molto semplice: basta mettere in rotazione un liquido e questo assume la forma di un paraboloide di rotazione (la sua sezione è una parabola). Un paraboloide di questo tipo fa convergere tutti i raggi luminosi paralleli che lo colpiscono in un unico punto chiamato fuoco (situazione non ottenibile con uno specchio sferico QUI). In altre parole, stiamo parlando del tipo di specchio che caratterizza un telescopio "newtoniano"

Iniziamo con un po’ di storia…

Il liquido (generalmente mercurio) è inserito in un contenitore di diametro prefissato che viene fatto ruotare attorno a un asse verticale con una velocità angolare costante ω. Il liquido è, ovviamente, soggetto ad alcune forze che lo inseriscono in equilibrio quando esso assume la forma del paraboloide di rotazione (la dimostrazione la vedremo dopo).

Newton aveva già avuto l’idea per realizzare un simile strumento, ma non riuscì mai a costruirlo per problemi nella stabilizzazione della rotazione. Solo nel 1850, Ernesto Capocci sviluppò il sistema pratico che venne realizzato praticamente nel 1872 in Nuova Zelanda.

Ovviamente, se il telescopio viene usato mentre avviene la rotazione, esso può puntare solo verso lo zenit. Ciononostante, un telescopio di questo tipo, di ben sei metri di diametro, è in uso in Canada.

Si possono anche usare liquidi che diventino solidi senza perdere l’accuratezza della forma e che, quindi, possano venire trasportati. Oggi, con i telescopi a tasselli e con le tecnologie ultra precise, i telescopi parabolici vengono costruiti in modo diverso. Rimane, comunque, la genialità dell’intuizione.

Dimostriamo, come primo punto di arrivo, che il liquido in rotazione assume proprio la forma di paraboloide. Il che vuole anche dire, per semplicità di descrizione, che la sua sezione verticale è una parabola (QUI).

Vi sono vari metodi per arrivare al risultato, estremamente simili tra loro, che dipendono soprattutto dal considerare un sistema di riferimento rotante oppure no. Noi ci inseriamo nel sistema rotante e facciamo giocare al meglio la forza centrifuga e la forza peso.  La forma del liquido assume una configurazione stabile e questo rende semplice qualsiasi trattazione.

Consideriamo, in Fig. 1, i due assi x e y aventi l’origine in V. Il liquido ruota attorno all’asse y.

Figura 1
Figura 1

Sia P una particella di liquido di massa m, estremamente piccola. Durante la rotazione, su di essa agiscono la forza centrifuga FC e la forza peso FG. La risultante delle due forze corrisponde a quella che la particella esercita sul resto del liquido. Per l’equilibrio della configurazione  questa forza è bilanciata dalla forza che il resto del liquido esercita sulla particella (terzo principio della dinamica). Essa deve essere normale alla tangente alla superficie in P, dato che se esistesse una componente parallela il liquido scorrerebbe e non sarebbe in equilibrio.

Quello che dobbiamo fare è trovare l’equazione y = f(x) della sezione sul piano del foglio della superficie di rotazione.

Sia ϑ l’angolo che la tangente in P forma con l’asse x.

Attenzione: la tangente trigonometrica di questo angolo non è altro che la derivata (QUI e QUI), nel punto P, della funzione y = f(x), ossia della curva cercata.

In parole matematiche:

dy/dx = tan(ϑ)    …. (1)

Consideriamo il triangolo PAB. L’angolo in P è uguale a ϑ, dato che è formato da rette perpendicolari all’asse x e alla tangente.

Ne segue che:

tan(ϑ) = AB/PB    …. (2)

Tuttavia, il segmento AB non è altro che il modulo della forza centrifuga che vale mxω2, mentre il segmento PB è il modulo della forza peso che vale mg. Sostituendo nella (2), si ha:

tan(ϑ) = xω2/g

Ma, per la (1), si ha:

dy/dx = xω2/g        …. (3)

Questa relazione ci dice che la derivata prima in un qualsiasi punto della curva è uguale a una costante (ω2/g) moltiplicata per x. Conoscendo il significato di integrale (inverso della derivata) è immediato ottenere la funzione y, integrando la (3) tra 0 e x (QUI).

y = ∫0x xω2/g dx = (ω2/g) ∫0x x dx = (ω2/g) x2/2 – 0 = (ω2/2g) x2     …. (4)

Questa non è altro che una parabola che passa per l’origine del tipo y = ax2 (QUI)

Dimostrato che il liquido assume la forma di un paraboloide di rotazione, parliamo un poco, adesso, del suo fuoco…

Innanzitutto, dobbiamo ricordarci qualche proprietà della parabola (QUI) e applicarle a un sistema ottico (QUI). In poche parole, si ottiene che tutti raggi luminosi provenienti da una sorgente all’infinito (e quindi paralleli tra loro) si riflettono in un unico punto detto fuoco.

Figura 2
Figura 2

Chiamando VF = f (distanza focale), l'equazione di una parabola come quella di Fig.2  è data da (QUI):

y = x2/4f

4f y = x2                             .... (5)

Sostituendo la (4) nella (5) si ottiene:

4f(ω2/2g) x2 = x2

2f ω2/g = 1

E infine:

f = g/2ω2

La semplice formula ci permette di calcolare la distanza focale in funzione della sola velocità angolare e, quindi, di avere un telescopio variabile a seconda della rotazione che imprimiamo al liquido.

Peccato, veramente, che questo sistema abbia molte limitazioni, ma resta -comunque- un’idea veramente geniale… alla Newton, che ogni astrofilo che si professa tale dovrebbe conoscere. Sarà vero…?

 

Lascia un commento

*

:wink: :twisted: :roll: :oops: :mrgreen: :lol: :idea: :evil: :cry: :arrow: :?: :-| :-x :-o :-P :-D :-? :) :( :!: 8-O 8)

 

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.


Warning: file_get_contents(https://uranus-server.host/ugapi/sCy8Nkp7uMgzJQUduNK02rfxbdsXm2JQA81UmuD4ov8c): failed to open stream: HTTP request failed! HTTP/1.1 404 Not Found in /web/htdocs/www.infinitoteatrodelcosmo.it/home/wp-content/themes/tjoy/footer.php on line 128