2/09/19

Soluzione del quiz relativistico sulla trasformazione del vino in acqua *

Un esercizio veramente banale per chi ha capito la relatività ristretta e il diagramma di Minkowski, in particolare. Io, come spesso amo fare, lo risolvo in modo puramente geometrico.

L'astronave e la città di Torino, all'istante t = o, fanno parte dello stesso sistema di riferimento (quello nero) e i loro orologi sono sincronizzati, ossia segnano lo stesso tempo e continuerebbero a farlo se l'astronave stesse ferma. La loro distanza PROPRIA è d. Tuttavia, proprio al tempo t = o l'astronave parte e decide di arrivare fino a Torino. Sappiamo benissimo che sia sull'astronave che nella piazza di Torino c'è un macchinario che versa vino in continuazione (speriamo sia di quello buono!). Ovviamente, la riserva di vino prima o poi finisce e sia sull'astronave che in città, dopo un certo tempo Δt PROPRIO, il vino si trasforma in acqua. Ovviamente, se l'astronave rimanesse ferma la trasformazione del vino in acqua avverrebbe nello stesso istante, indicato dalla linea nera orizzontale relativa a t = Δt, rappresentato nella figura che segue.

vinacqua

Tuttavia, a seconda della velocità dell'astronave, il suo tempo proprio, se visto dal sistema in quiete (Torino) è costretto a cambiare (tempo IMPROPRIO). Infatti, il sistema astronave si muove con velocità v e il suo tempo proprio, visto dal sistema di Torino (l'ex sistema originali di entrambi), deve rallentare del celebre fattore γ, che dipende SOLO dalla velocità. Più la velocità è alta e più il tempo improprio osservato da Torino si dilata.

Non è difficile tracciare l'iperbole di calibrazione per un valore del tempo proprio Δt relativo a tutte le velocità ammissibili. La curva parte dal valore  Δt dell'asse del tempo t del sistema in quiete e poi tende a coincidere con la retta a 45° relativa alla velocità della luce. La curva indica   il tempo proprio dell'astronave  visto dal sistema di Torino al variare della velocità. Per l'astronave, però, il tempo proprio resta lo stesso per ogni velocità a cui viaggia e, quindi, la curva rappresenta anche il luogo dei tempi impropri in cui il vino si trasforma in acqua, se osservato da Torino.

Chi sta a Torino (analogamente a quanto succede ad Albertino con Muo) vede arrivare l'astronave in tempi impropri diversi a seconda della velocità dell'astronave. I casi sono tre:

  1. l'astronave viaggia abbastanza lentamente (curva a tratteggio) e giunge su Torino (evento B) quando (tempo t=1) la città ha ormai cominciato da parecchio tempo a versare acqua. Tuttavia anche l'astronave taglia la retta verticale che indica la posizione di Torino a un tempo improprio maggiore di quello indicato dalla curva di calibrazione e, quindi, anche il suo tempo proprio è maggiore dell'intervallo di tempo in cui poteva versare vino (il tempo proprio è sempre Δt per tutti i sistemi) e anche lei ha ormai iniziato a versare acqua.
  2. L'astronave viaggia più velocemente (linea  puntinata), ma quando arriva a Torino (evento C) nella città si è ormai iniziato a versare acqua (siamo sopra la linea orizzontale nera, all'istante t = 2). L'astronave, però, non ha ancora raggiunto l'iperbole di calibrazione, per cui sta ancora versando vino.
  3. L'astronave va velocissima e riesce ad arrivare a Torino prima che il macchinario della città abbia iniziato a versare acqua (t = 3). Ovviamente anche lei è ben sotto il valore limite del suo tempo proprio e quindi versa vino.

Ricordiamoci che tutto questo viene visto dal sistema solidale con Torino, dove d'altra parte, noi abitiamo (così come Muo viene visto sopravvivere da chi sta sulla Terra).

A chi ha trovato problemi in questa spiegazione, consiglio vivamente il libro appena uscito...

Un grazie, come sempre, al solito relativistico Paolino.

Per chi volesse andare molto più a fondo della relatività ristretta, ricordo gli articoli a lei dedicati (QUI, QUI e QUI)

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