Affrontiamo un'altro semplice problema, veramente "pratico", facendoci aiutare da una nuova equazione differenziale. Si ringrazia il prezioso contributo di Oreste Pautasso che, spero, abbia imparato quanto siano utili le nostre equazioni.

La volta scorsa abbiamo risolto facilmente una espressione del tipo:

dx/dt = k t

E' bastato integrare sia a destra che a sinistra...

Tutto facile dato che compare solo una derivata della funzione x che vogliamo determinare in funzione del tempo.

A sinistra abbiamo già una derivata bella e pronta il cui integrale non sarà altro che la variabile x (per definizione di integrale come inverso della derivata); a destra abbiamo la nostra variabile t rispetto a cui abbiamo derivato. Non è quindi difficile sapere qual è la funzione che dà come derivata proprio t. Lo sappiamo benissimo: 1/2 t². Ricordiamo la derivata di una potenza... d(t²)/dt = 2t.

Ma noi vogliamo solo t e quindi facciamo sparire quel 2, moltiplicando per 1/2.

L'espressione 1/2 t² ha come derivata proprio t, ossia potremmo scrivere

∫t dt = ∫(d(1/2 t²)/dt) dt= 1/2 t²

Facciamo un esempio apparentemente simile, ma che non lo è affatto.

Approfittiamo, per far ciò, di una esperienza di vita vissuta di un nostro caro amico, il simpatico ed estroverso Oreste Pautasso. Noi lo conosciamo da poco, ma la sua vita è costellata di parecchi episodi degni di nota. Ciò che non ha mai cambiato è il mestiere atavico di raccoglitore di marroni nelle valli di Cuneo. Fin da piccolo è vissuto in una di queste valli, ma a causa dei suoi interessi sempre portati agli estremi, ha dovuto cambiare frettolosamente residenza, ossia cambiare valle. Si dice che fin da giovinetto, tra una raccolta e l'altra di castagne, avesse deciso di allevare conigli.

No, non pensiamo ciò che sia troppo lontano dallo spirito pautassiano: allevare conigli non per farne una carneficina e poi magari venderli, ma nel senso di averne un gruppo da considerare veri amici. Ne scelse una coppia dagli occhi svegli e dal sorriso molto libidinoso. Circondò l'ampio terreno di famiglia con una rete invalicabile e li lasciò liberi di riprodursi a piacere e in quasi totale libertà.

Non mancò di curarli in modo adeguato e di cibarli con le migliori carote (e anche un po' di marroni) che riuscì a reperire sul mercato. Poi attese accarezzandoli spesso e volentieri. Non manco molto che vide la prima cucciolata. Che meraviglia!  Seppe anche che, se ben curati e accuditi i conigli possono vivere anche oltre i dieci anni. Tuttavia, il nostro Oreste, dalle scarpe grosse e dal cervello fino, non conosceva le equazioni differenziali e fu ben lieto quando, dopo due anni, vide una quindicina di simpatici coniglietti girovagare nel bosco.

Fu assai meno lieto una decina d'anni dopo e solo grazie alla sua intelligenza contadina riuscì a vendere casa e terreno a un villeggiante torinese che amava disperatamente le montagne cuneesi e che si accontentò di vedere la casa in fotografia. Dicono che nottetempo Oreste e la sua famiglia fecero un rapidissimo trasloco e ancora oggi nessuno sa quale sia la sua abitazione.

Noi, invece, stiamo imparando le equazioni differenziali e vogliamo capire il perché della fuga di Oreste. Che sia proprio legata ai suoi conigli così curati e longevi? Poniamoci nelle condizioni più semplici, quelle a cui più si avvicinavano gli "amici" del nostro "marronaio" (si dice così?). Nei dieci anni di vita in comune non vi furono cause esterne come guerre, pestilenze o asteroidi che piovono dal cielo a interrompere l'allegra esistenza dei conigli, tanto meno malattie o morti per vecchiaia...

Beh... se ho due conigli soltanto avrò quasi sicuramente nel giro di un anno un certo numero di coniglietti che, a loro volta, daranno luogo a tante coppie e a tanti altri coniglietti. Fino a qui lo sapeva anche Oreste... Noi però cerchiamo di andare avanti e fare qualche semplice calcolo.

Possiamo dire con certezza che la variazione del numero di conigli, in funzione del tempo che passa, dipende quasi solamente dal numero dei conigli, ossia N. Il quale N è però anch'esso funzione del tempo. Ossia, scrivendo in linguaggio matematico:

dN(t)/dt = k N(t)

k è una costante che dipende dalle caratteristiche della specie animale considerata (Per i conigli, ad esempio, ha decisamente un valore più alto che per gli elefanti), ma per il momento lasciamola indeterminata.

Abbiamo solo scritto che la variazione dei conigli nel tempo è proporzionale al numero di conigli.

Beh... potremmo integrare entrambi i membri. Il primo non pone nessun problema, contenendo la derivata di N rispetto a t e quindi dà come risultato N, proprio quello che vorremmo sapere. Ma il secondo membro si morde un po' la coda. Sappiamo che N è funzione di t, ma non possiamo sapere  qual è quella funzione di t la cui derivata è proprio N ( o, almeno, possiamo agire più semplicemente...)

Basta separare le variabili, mettendo tutte le P da una parte e ottenendo:

(1/N)dN = k dt

Adesso possiamo integrare facilmente

il primo integrale non è altro che il ln N (la cui derivata è proprio 1/N), quello del secondo membro è proprio t, dato che k è una costante e possiamo portarla fuori dall'integrale.

ln N= k t + c

Però, però... noi volevamo trovare la funzione N(t) e non il suo logaritmo... Poco male! Basta porre entrambi i membri come esponete del numero e.

e ^{ln N}  = e^{(kt + c)}

Ma e elevato a un logaritmo naturale di un numero è proprio uguale a quel numero e quindi:

N = e^{(k t + c)}

Ricordando le proprietà delle potenze:

N = e^{k t}  e^c

ma e^c   è una costante e possiamo chiamarla C

N = C e^{k t}

Il nostro problema è stato risolto. Ci manca solo di stabilire il valore della costante C, ma questo dipende dalle condizioni iniziali. Quale sarà il valore della popolazione all'istante che consideriamo zero?

N0 = C e ^{k 0} = C · 1

C non è altro, quindi, che la popolazione iniziale dei conigli. Nel caso di Oreste proprio 2.

La legge che determina il numero dei conigli pautassiani risulta quindi:

N = 2 e^kt

Noi abbiamo saputo che k, per quella specie di conigli e per le amorevoli cure di Pautasso, era proprio uguale a 1.

N = 2 e^t

L'importante è avere scoperto che la popolazione cresce in modo ESPONENZIALE. Ma questo Oreste non lo sapeva e quando se n'è accorto aveva già 40 000 coniglietti. L'anno dopo, il nostro acquirente torinese, noto vegano, si è trovato a dover fronteggiare più di 100 000  conigli!

Però, non fate sapere ad Oreste che ve l'ho raccontata. Lui preferisce che non si sappia troppo in giro. Dicono che il signore torinese vaghi tra i castagni delle valli con una doppietta sempre carica.

P.S.: La veridicità del racconto mi è stata autorevolmente confermata dal carissimo amico Maurizio, che ben conosce il nostro Oreste, avendo entrambi fatto il militare a Cuneo!

 

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