Questo articolo è stato inserito nella sezione d'archivio "Antichi Greci, che passione!"

La soluzione che riporto si rifà a un celebre scienziato greco, Apollonio di Perga, famoso non solo per aver "inventato" gli epicicli, utilizzati poi da Tolomeo. A lui si deve una nuova definizione di cerchio, capace di dare al capitano inglese (protagonista di questo QUIZ) tutte le informazioni possibili. Alla fine trovate una preziosa aggiunta del nostro caro Maurizio che ha voluto arrivare al dunque attraverso nientepopodimeno che la geometria inversiva.

Apollonio di Perga è noto soprattutto per avere inventato gli epicicli, quegli strani cerchi che permettevano ai pianeti di compiere il loro bizzarro percorso nel cielo pur ammettendo che la Terra fosse al centro dell'Universo e, quindi, del Sistema Solare. Epicicli che poi Tolomeo ha sfruttato alla grande e che hanno permesso alla chiesa di imporre un veto assoluto a tutta la "ricerca" astronomica innovativa, anche attraverso il rogo di Giordano Bruno e il processo a Galileo. Tuttavia, questa visione un po' negativa di Apollonio deve essere valutata in modo corretto. Lui è stato uno dei massimi studiosi di geometria dell'antica Grecia (262 a.C . - 190 a.C.) ,soprattutto durante il suo periodo alessandrino. Sapete... ogni tanto penso a cosa doveva essere Alessandria d'Egitto per parecchi secoli. Un centro che grondava cultura, con una biblioteca impressionante per quantità e qualità. Mi piacerebbe tanto potermi trasferire per qualche giorno in quel luogo e assistere ai discorsi, alle spiegazioni, alle accese discussioni tra geni indiscussi della nostra storia antica.

Torniamo a noi... e ricordiamo, innanzitutto, che prima di Apollonio l'ellisse, la parabola e l'iperbole venivano costruite come sezioni di tre tipi di coni circolari retti, a seconda che l'angolo al vertice fosse acuto, retto o ottuso. Apollonio, per la prima volta, dimostrò che da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le coniche, variando l'inclinazione del piano di intersezione. Inoltre, egli dimostrò che non era necessario che il cono fosse un cono retto (cioè un cono il cui asse è perpendicolare alla base), ma che poteva essere anche un cono circolare obliquo. Infine, sostituì il cono a una falda con un cono a doppia falda, dando la definizione di cono circolare che è usata oggigiorno:  "Se una retta, prolungantesi all'infinito e passante sempre per un punto fisso, viene fatta ruotare lungo la circonferenza di un cerchio che non si trovi nello stesso piano del punto in modo che passi successivamente attraverso ogni punto di quella circonferenza, la retta che ruota traccerà la superficie di un cono doppio".

Questo cambiamento fece sì che l'iperbole assumesse la forma  a due rami  che conosciamo oggi e fu proprio
Apollonio a introdurre i termini "ellisse", "iperbole" e "parabola".

Apollonio era , inoltre, un grande amante del cerchio e delle tangenti. Celebri sono i suoi dieci problemi dedicati al numero di circonferenze tangenti a tre circonferenza date, anche degeneri. La loro dimostrazione è in alcuni casi, un vero rompicapo, ma chissà che un giorni non si decida di affrontarli.

Il cerchio di Apollonio

Per adesso dedichiamoci al semplice cerchio, quello detto di Apollonio. Sappiamo che le coniche possono essere definite in modo diverso dalle sezioni di un cono, magari come luogo dei punti. Tutti ricordano certamente che l'ellisse può essere definita come il luogo dei punti che mantengano sempre costante la somma delle loro distanze da due punti detti fuochi. Quando i due punti degenerano in uno solo otteniamo il cerchio, definito anche come il luogo dei punti che abbiano sempre la stessa distanza da un punto detto centro.

Eppure, il cerchio può anche essere definito in modo molto simile all'ellisse: il luogo dei punti le cui distanze da due punti detti fuochi mantengano sempre lo stesso rapporto.

Se P è un punto qualsiasi del cerchio deve valere la relazione:

PF1/PF2 = k = costante

Il capitano inglese conosceva Apollonio

Ecco che questo cerchio diventa essenziale per il nostro problema, dato che le navi inglese e olandese hanno velocità costanti che stanno in un rapporto prestabilito tra loro. Il punto di partenza (NA, Nuova Amsterdam) è quindi un punto del cerchio di Apollonio che ha i fuochi nei punti corrispondenti al momento del cambio di rotta inglese (F_I e F_O).  Tracciato questo cerchio e conosciuta la direzione della goletta olandese , la nave inglese la incontrerà nel punto in cui la rotta della prima interseca la circonferenza del cerchio. Infatti quel punto d'incontro mantiene le distanze (le velocità per tempi uguali) nella proporzione k che esiste tra le due velocità.

Utilizziamo una figura per rendere il tutto più chiaro e poi vediamo di determinare in modo piuttosto semplice l'equazione del cerchio di Apollonio (costruibile anche geometricamente, come in fondo è stato tentato e/o fatto da  Leandro e Maurizio).

Le due navi sono partite da NA e dopo un certo periodo di tempo (uguale per tutte e due) sono arrivate in F_I e F_O. Il rapporto tra le due distanze percorse s_I e s_O è proprio la costante k, dato che il rapporto tra le velocità è uguale al rapporto tra le distanze percorse nello stesso tempo. Il Punto NA, perciò, fa parte del cerchio di Apollonio. Un altro punto del cerchio di Apollonio è Q, che divide la distanza tra F_I e F_O (d) in due parti, che stanno nel rapporto k. Ribaltando attorno al segmento  F_IF_O il triangolo con vertici in F_I, NA e F_O si ottiene un nuovo punto R, che per costruzione rispetta le regole del cerchio. Per tre punti (NA, Q e R) passa una e una sola circonferenza che sarà proprio quella cercata. Oppure, sapendo che il centro del cerchio deve stare per forza lungo il prolungamento di F_IF_O si può tracciar da NA la retta perpendicolare al segmento tra NA e Q e trovare la sua intersezione A2 con il prolungamento di F_IF_O. QA2 non è altro che il diametro del cerchio di Apollonio, dato che sottende un angolo alla circonferenza di 90°. Il punto di mezzo è proprio il centro C. Con un compasso si può disegnare alla perfezione il cerchio di raggio QA₂/2 e centro C.

Ovviamente, la faccenda può essere ricavata per via analitica, scrivendo l'equazione del luogo dei punti che segue la regola di Apollonio, imponendo la condizione che ogni suo punto abbia distanza PF_I = kPF_O. Consideriamo l'asse F_IF_O come asse delle x. Poniamo l'origine in F_I e tracciamo l'asse delle ordinate y.

Possiamo usare NA come punto P generico e imporre:

PF_I/PF_O = k

Se P ha coordinate x e y, la possiamo tradurre in:

√(x² + y²)/√((d - x)² + y² ) = k                        .... (1)

Quadrando entrambi i membri e spostando i termini:

x² + y² = k²(d - x)² + k²y²

x² + y² = k²d² - 2dk²x + k²x² + k² y²

x²(1 - k²) + y²(1 - k²) + 2dk²x - k²d² = 0

cambiando di segno:

x²(k² - 1) + y²(k² - 1) - 2dk²x + k²d² = 0

dividendo per (k2 - 1), otteniamo proprio l'equazione della circonferenza in forma canonica:

x² + y² - 2dk²x/(k² - 1) + k²d²/(k² - 1) = 0

Mancando il termine in y, sappiamo che il centro della circonferenza deve stare sull'asse delle x. Per trovare il diametro basta porre y = o e ottenere due punti la cui differenza di ascissa è proprio il diametro.

x² - 2dk²x/(k² - 1) + k²d²/(k² - 1) = 0

Risolviamo l'equazione usando la formula ridotta:

x = k²d/(k² - 1) +/- √((k⁴d²)/(k² -1)²) - k²d²/(k² - 1))

x = k²d/(k² - 1) +/- √((k⁴d² - k²d²(k² - 1))/(k² -1)²)

x = k²d/(k² - 1) +/- √(k²d²(k² - 1)/(k² -1)²)

x = k²d/(k² - 1)  +/- kd/(k² - 1)

x₁ = k²d/(k² - 1) + kd /(k² - 1)

x₂ = k²d/(k² - 1) - kd /(k² - 1)

x₁ - x₂ = 2r = 2 kd/(k² - 1)

r = kd/(k² -1)

x_C = (x₁ + x₂)/2 = 2k²d/(2(k² - 1))

x_C = k²d/(k² - 1)

Il centro C ha coordinate

x_C = k²d/(k² - 1)

y_C = 0

Se k = 1    (le due navi hanno la stessa velocità)

la (1) diventa:

x² + y² = (d - x)² + y²

x² = d² + x² - 2dx

2dx= d²

x = d/2

Il cerchio degenera nell'asse della distanza focale F_IF_O

Se k > 1 il cerchio contiene F_O

se k < 1 il cerchio contiene  F_I.

Noi non sappiamo se il capitano abbia usato il metodo grafico o abbia calcolato direttamente il valore del centro e del raggio, sappiamo soltanto che l'oro è stato portato al re Carlo II.

Non c'è scampo per la goletta olandese

Facciamo notare che, anche se la nave olandese sapesse, nello stesso momento della nave inglese, dello scoppio della guerra e cambiasse, perciò, percorso, se la King Charles sapesse immediatamente del cambiamento di rotta si adeguerebbe e l'incontro avverrebbe comunque su un altro punto del cerchio di Apollonio, dato che i fuochi restano F_I e F_O, come mostra il percorso marcato in rosso nella Fig. 1. Anche se la nave olandese andasse in verso opposto alla nave inglese, rispetto a F_O, non ci sarebbe storia e l'incontro avverrebbe proprio in A₂.

Facciamo un altro caso molto interessante e istruttivo in Fig. 2.

Immaginiamo che la Newland continui la sua rotta verso A₁, così come la King Charles. Ma, solo dopo un certo periodo di tempo, la notizia dello scoppio della guerra arrivi anche alla nave olandese. Lei potrebbe cercare di scappare verso un'altra direzione. Ma, se la nave inglese ne venisse a conoscenza (il solito piccione e la solita spia...), la situazione non cambierebbe... Nel momento del cambio di rotta le posizioni delle due navi sarebbero  F_I' e F_O'. La loro distanza sarebbe d' < d. Ci vuole poco al capitano inglese a tracciare il nuovo cerchio di Apollonio verde e individuare il punto dell'arrembaggio in A'.

In realtà, anche se le due navi andassero entrambe verso il punto di incontro stabilito fin dall'inizio, ad ogni istante successivo si troverebbero a una distanza inferiore tra loro. Ne consegue che cambiando la distanza focale deve anche cambiare il cerchio di Apollonio che diventa sempre più piccolo. Tuttavia il nuovo cerchio ha il centro sempre sulla congiungente i due fuochi istantanei e, inoltre, si muove su una retta che lo conduce proprio nel punto di arrembaggio A. In quel punto il cerchio degenera in un punto. In altre parole, i cerchi di Apollonio sono sempre tangenti tra di loro nel punto di arrembaggio stabilito fin dall'inizio. Ciò vuol dire che la rotta della nave inglese è veramente quella di minimo percorso. Vediamo questa situazione nella Fig. 3, dove per facilità di costruzione (ma senza perdere in generalità) abbiamo preso k = 2.

Il "terribile" Maurizio ha voluto utilizzare un approccio diverso attraverso la geometria inversiva. Lui dice che l'ha fatto per richiamare questo articolo, ma (non ditegli niente, mi raccomando) secondo me dipende solo dal fatto che ama complicare le cose semplici (come tutti gli ingegneri?). Si fa per scherzare, ovviamente, e complimenti a lui! Se ne prende, però, anche tutte le responsabilità...

Un capitano "inversivo" di Maurizio 

Ricerca di luogo dei punti con la geometria inversiva

Una soluzione alternativa e generalizzata, del quiz sull'arrembaggio, consiste nella ricerca del luogo dei punti per i quali il rapporto tra i percorsi delle due navi per raggiungere una destinazione comune, a partire dalle rispettive posizioni iniziali, si mantiene costante ed identico al rapporto tra le loro velocità.

In un primo momento ignoriamo la presenza nella figura dei due cerchi e ragioniamo sul triangolo APB

Il porto di partenza di Nuova Amsterdam è rappresentato dal punto P. Dopo un certo tempo di navigazione, la nave più lenta (olandese) si trova in A, mentre la nave più veloce (inglese) si trova in B.

Osserviamo il triangolo APB e tracciamo la bisettrice dell'angolo in P. Essa interseca il lato AB nel punto C.

Per il teorema della bisettrice il rapporto AP/PB è identico al rapporto AC/CB.

Estendiamo ora il quesito originale, in cui la nave lenta proseguiva lungo la rotta impostata, facendo l'ipotesi alternativa che il capitano olandese, sospettando il pericolo di essere attaccato, opti per un cambio di rotta.

Aggiungiamo anche una spia a bordo di questa nave, che riesca tempestivamente a comunicare al capitano inglese la nuova rotta dell'olandese.

Il corsaro britannico dovrà quindi scegliere il nuovo punto di abbordaggio da raggiungere per potersi impossessare del carico d'oro.

Restano ovviamente invariate le ipotesi sulle velocità delle due navi.

L'obiettivo geometrico che ci poniamo è di trovare il luogo dei punti, le cui distanze dalle attuali posizioni A e B stanno nel rapporto delle velocità. Questo significa che le distanze che separano A e da B dal punto di contatto (arrembaggio) verranno percorse nel medesimo tempo, i due vascelli si incontreranno, come il capitano inglese auspica e il capitano olandese teme.

Conoscendo questo luogo di punti è chiaro che qualsiasi rotta venga scelta dalla nave olandese, potrà essere intercettata dalla nave inglese.

Procediamo alla individuazione della curva, operando in via preliminare una inversione del piano

Ecco quindi apparire la prima circonferenza (blu) ossia il cerchio di inversione

Chi non avesse famigliarità con questa procedura può innanzi tutto leggere questo articolo:

http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2020/03/08/teorema-tolomeo-sconosciuto-3-la-geometria-inversiva/

Il cerchio di inversione ha come centro il punto C e raggio arbitrario R.

Il segmento AB è suddiviso da C nei due segmenti AC e BC tali che AC/BC = k

L'operazione di inversione trasporta AB al di fuori del cerchio, il punto A va in A' il punto B in B' e il punto C verrà proiettato nel punto all'infinito, lungo la direzione A'B' .

Avremo quindi le due semirette A' ∞ e B' ∞ .

Qualsiasi punto P, appartenente al luogo cercato, sarà tale che AP/BP = K

Nella entità invertita avremo quindi il rapporto:

P'A'/P'B' = ( P'C – A'C) : ( PC' - B'C) = ( R²/PC - R²/AC) : (R²/PC - R²/BC) =

= R²(AC - PC)/(PC AC ): R²(PC - BC)/(PC BC) =

= AP/(PC AC): BP/(PC BC) =

= AP PC BC : BP PC AC =

= AP/BP : AC/BC =

= k : k = 1

L'inverso del luogo cercato è quindi un luogo di punti che hanno la medesima distanza da A' e B' che non è altro che la definizione di asse di A'B'.

Ora si tratta di eseguire di nuovo l'inversione per trasformare questo asse nel luogo dei punti cercato.

Sappiamo che la trasformazione di una retta esterna alla circonferenza di inversione genera un cerchio e che tale cerchio deve passare per il punto C oltre che per il punto P.

Tornando alla figura, vediamo questo cerchio disegnato in rosso.

Per determinare il suo centro O è stato sufficiente intersecare il prolungamento di AB con l'asse della corda PC (asse non tracciato nella figura).

Naturalmente il raggio è dato dalla distanza OC ( = OP).

Qualsiasi punto su questo cerchio dista da A e da B di misure che stanno tra loro nel rapporto k.

Se il capitano olandese sceglierà una qualsiasi direzione partendo da A, giungerà in un punto X sulla circonferenza rossa, in cui inevitabilmente la sua nave verrà abbordata dal nemico, giunto nello stesso punto nello stesso istante, avendo seguito la rotta BX , con velocità tale da compensare esattamente la maggiore distanza.

 

QUI il nostro Arturo Lorenzo ci parla di un caso particolare del celebre "problema di Apollonio" relativo a circonferenze tangenti