28/06/16

Curviamo il mondo. 5: soluzioni e un po’ di trigonometria piana **

Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento nel quale è stato inserito anche il presente articolo

Vorremmo continuare con la descrizione della trigonometria sferica per potere poi maneggiare senza problemi la sfera celeste e le posizioni dei corpi che sono proiettati su di lei. Tuttavia, è prima necessario introdurre dei teoremi di trigonometria piana che avevamo tralasciato descrivendone le basi. Prima ancora, però, diamo le soluzioni ai due quiz proposti la volta scorsa.

La prima è veramente semplice: basta pensare che se uno dei tre angoli raggiungesse 180°, automaticamente i tre vertici apparterrebbero alla stessa circonferenza e cadrebbe la definizione di triangolo. Ne segue che il valore limite, per la degenerazione del triangolo, è dato da 3∙180° = 540°. Un triangolo sferico vicino al limite massimo della somma dei tre angoli è riportato nella Fig. 14.

Figura 14
Figura 14

I tre lati sono relativi ai tre piani di colore diverso (rosso, blu e verde). Il cerchio verde è quello che giace sul piano del foglio. Poco importa se i lati curvano e se gli angoli si allargano, l’importante è che si utilizzino tre piani passanti per il centro della sfera.

Più interessante e utile è la soluzione del secondo quiz. Dato un cerchio massimo cerchiamo di stabilire la relazione che vi è fra un suo arco, compreso tra due cerchi massimi a lui perpendicolari, e i cerchi minori ottenuti, compresi sempre tra i due cerchi massimi, a differente distanza da lui. Il tutto è rappresentato molto meglio nella Fig, 15 che non è altro che la Fig. 13, presentata nel QUIZ .

Figura 15
Figura 15

Conosciamo AB e vogliamo trovare CD per varie posizioni lungo la sfera celeste. Si capisce subito l’importanza di questa relazione pensando alle misure lungo i paralleli terrestri…

Chiamiamo δ l’angolo al centro che determina la posizione del piano non passante per il centro. Per δ = 0 il cerchio minore coincide con il cerchio massimo, per δ = 90°, il cerchio degenera nel punto P. Cosa analoga (cambiando di segno) capita nell’emisfero in basso.

La definizione dell’angolo δ identifica immediatamente l’arco di cerchio AC, dato che essi sono esattamente uguali assumendo Rs = 1. Chiamiamo d questo arco, ricordando bene che:

d = δ (rad.)

Consideriamo il triangolo rettangolo CRO. CR non è altri che il raggio r (estrinseco) del cerchio minore. L’angolo COR vale, ovviamente, 90° – δ = π/2 – d. CO è il raggio della sfera e vale 1.

Ne segue che:

r = Rs sen (π/2 – d) = cos (d)

L’arco di cerchio CD vale, però:

CD = r ∙ angolo (CRD)

L’arco di cerchio AB vale anche:

AB = Rs ∙ angolo (AOB) = angolo (AOB)

Ma l’angolo AOB è uguale all’angolo CRD, dato che entrambi sono formati dagli stessi due piani e sono misurati su piani a loro perpendicolari o (se preferite) sono formati da coppie di rette parallele.

Ne segue che:

CD = r ∙ angolo (CRD)  = r ∙ angolo (AOB) = r ∙ AB

Ma abbiamo appena trovato che:

r = cos (d)

Si ha infine:

CD = AB cos (d)

In poche parole l’arco di cerchio minore è uguale all’arco di cerchio maggiore corrispondente (relativi a due piani paralleli), moltiplicato per il coseno dell’arco di cerchio massimo che li separa.

Questa è una formula estremamente importante per le coordinate sferiche.

Facciamo adesso un passo indietro e torniamo alla trigonometria piana. L’abbiamo trattata parzialmente QUI, ma è adesso necessario aggiungere qualche nozione e almeno un paio di formule. Alcune le avevamo già ricavate e/o usate affrontando il QUIZ su stellarium (QUIQUI e QUI).

Teorema dei seni

Consideriamo un triangolo (piano) ABC qualsiasi, come mostrato in Fig. 16

Figura 16
Figura 16

Tracciamo da B la perpendicolare al lato opposto e sia H il punto di intersezione. Otteniamo due triangoli rettangoli, AHB e CHB.

Dal primo abbiamo:

BH = c sen (α)

Dal secondo:

BH = a sen (γ)

Uguagliando:

c sen (α) = a sen (γ)

O, ancora:

c/sen (γ) = a/sen (α)       …. (2)

Tradotto in  parole: il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto rimane costante.

Proviamo con un altro vertice:

Tracciamo da A la perpendicolare al lato BC e chiamiamo K il punto d’intersezione (prolungando il lato, ovviamente).

I due triangoli AKB e AKC sono rettangoli. Possiamo quindi scrivere:

AK = c sen (180 – β) = c sen (β)

AK = b sen (γ)

Uguagliando:

c sen (β) = b sen (γ)

E, ancora:

c/sen (γ) = b/sen (β)

Ricordando la (2)

Si ha la formula generale dei seni:

c/sen (γ) = a/sen (α) = b/sen (β)      …. (3)

Il teorema di Carnot

Questo teorema, detto anche del coseno, permette di ricavare un lato di un triangolo qualsiasi, conoscendo gli altri due e l’angolo tra essi compreso. Utilizziamo la Fig. 17.

Figura 17
Figura 17

Conosciamo a, b e l’angolo γ e vogliamo ricavare il lato c.

Tracciamo da B la perpendicolare BH al lato b = AC.

Dal triangolo rettangolo BHA si ha:

c2 = AH2 + BH2         …. (4)

dal triangolo rettangolo BHC, si ha:

BH = a sen (γ)

Ma vale anche:

AH = b – HC = b – a cos (γ)

Sostituendo le ultime due relazioni nella (4) si ha:

c2 = AH2 + BH2 = (b – a cos (γ))2 + a2 sen2(γ) = b2 + a2 cos2(γ) – 2ab cos (γ) + a2 sen2(γ)

 

Abbiamo, raccogliendo a2:

c2 = b2 + a2 (cos2(γ) + sen2(γ)) – 2ab cos (γ)

Ricordando che

sen2(γ) + cos2(γ) = 1

si ha, infine:

c2 = a2 + b2 - 2ab cos (γ)       …. (5)

La (5) rappresenta la formula di Carnot

Essa si riduce al teorema di Pitagora quando l’angolo  γ vale 90°, dato che il coseno va a 0. La formula, ovviamente può applicarsi a qualsiasi lato, facendo “girare” le lettere.

Secante, cosecante e cotangente

Da un punto di vista puramente matematico è immediato definire la secante (sec), la cosecante (cosec) e la cotangente (cotan):

sec (ϑ) = 1/cos (ϑ)

cosec (ϑ) = 1/sen (ϑ)

cotan (ϑ) = 1/tan (ϑ)

Da un punto di vista grafico, basta richiamare il cerchio goniometrico di raggio unitario, come si vede in Fig. 18

Figura 18
Figura 18

I triangoli rettangoli OHQ e OPA sono simili e quindi vale la proporzione:

OH : OP = OQ : OA

OA e la secante di ϑ

Infatti:

sec (ϑ) = OA = OP ∙ OQ/OH = 1∙1/cos (ϑ) = 1/cos (ϑ)

Nel triangolo rettangolo OPA, il teorema di Pitagora ci dice anche che:

sec2(ϑ)  = OP2 + PA2 = 1 + tan2(ϑ)       …. (6)

Ricaviamo geometricamente anche la cosec (ϑ), tracciando la tangente alla circonferenza goniometrica nel punto Q e considerando il triangolo rettangolo OQR. Quest’ultimo è simile al triangolo OQH (due angoli uguali). Ne segue che OR = cosec (ϑ). Infatti:

OR : OQ = OQ : QH

Ossia:

cosec (ϑ) = OR = OQ ∙ OQ/QH = 1/sen (ϑ)

Possiamo anche definire la funzione

cotan (ϑ) = 1/tan (ϑ) = cos (ϑ)/sen (ϑ)

Geometricamente essa è rappresentata dal segmento ST. Infatti, dai triangoli simili OST e OHQ si ha:

ST : SO = OH : QH

e, quindi:

cotan (ϑ) = ST = SO ∙ OH/QH = 1∙ cos (ϑ)/sen (ϑ) = cos (ϑ)/sen (ϑ)

Non preoccupatevi… useremo soltanto la definizione di secante, ma è più che giusto conoscere queste funzioni così semplici, sia matematicamente che geometricamente. Chi vuole divertirsi (ma non è importante per il proseguo della trattazione) può anche fare il grafico delle tre funzioni sec, cosec e cotan. Un bell’esercizio per ricordare lo studio di funzioni…

5 commenti

  1. Daniela

    Perché  "se uno dei tre angoli raggiungesse 180°, automaticamente anche gli altri due farebbero lo stesso"? 

    Riesco ad immaginarmi un triangolo i cui tre angoli tendano a 180°, ma non riesco a capire come mai se un angolo raggiungesse i 180° lo farebbero automaticamente anche gli altri due.

    Se guardo, per esempio, la fig. 12 dell'articolo 4, e immagino che l'angolo alfa diventi uguale a 180°, posso capire che quella figura non è più un triangolo sferico perché due dei piani che lo individuavano si sono sono sovrapposti, quindi abbiamo un quarto di sfera individuata dall'intersezione di due piani (viene meno la definizione di triangolo sferico che deve essere individuato da tre piani che, intersecando la sfera, formino tre circonferenze di cerchio massimo). Ma non riesco a capire come mai se alfa diventasse uguale a 180°, anche beta e gamma dovrebbero farlo...

     

  2. cara Dany,

    come dici tu la figura che otterresti non sarebbe più un triangolo... Tuttavia, hai ragione a dire che non mi sono spiegato bene. Volevo intendere che: se un angolo diventa di 180° i tre vertici del triangolo si trovano su una stessa circonferenza massima e quindi cade la definizione di triangolo. Faccio subito la dovuta correzione...

    Grazie!!! :-P

  3. Daniela

    Se, quando andavo al Liceo, qualcuno mi avesse detto che avrei fatto colazione con la trigonometria, gli avrei consigliato di rivolgersi ad un buon psichiatra!  Eh sì, i tempi cambiano... :-D

    Pensavo che questo articolo sarebbe stato più ostico e invece è di una chiarezza disarmante, grazie Prof.!

     

     

  4. cara Dany,

    può darsi che tu la digerisca perché è ... piana. La prossima volta proverai con quella curva (a qualcuno crea problemi di nausea...), ma sono sicuro che il tuo stomaco non avrà assolutamente problemi di sorta!!!!

    Grazie a te, ovviamente... :-P

  5. Daniela

    Lo sapevo io... :roll:  :(

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