Feb 8

Aberrazione della luce. 6: QUIZ, rendiamola relativistica.***

Per una trattazione completa di questo argomento si consiglia di leggere il relativo approfondimento, nel quale è stato inserito anche il presente articolo.

 

Ammettiamo che la velocità della Terra (o di una qualsiasi astronave) sia comparabile con quella della luce. Questo è un facile e istruttivo esercizio di Relatività Ristretta (molto meno confusionario del precedente, proposto QUI e risolto QUI, che ci servirà più in là) . Lo lascio a voi per qualche giorno e poi lo pubblicheremo compiutamente.

In poche parole, come si trasforma la formula (17) di questo articolo, il quarto della serie (versione classica), nel caso relativistico. Tutto qui…

In questo modo potremo lasciare la Terra e muoverci alla velocità che preferiamo. L'aberrazione annua diventa un caso particolare dell'aberrazione luminosa. Risolvendo il problema troverete che la formula finale vi chiarirà del tutto perché l'aberrazione luminosa vada considerata un fenomeno puramente relativistico.

 

10 commenti

  1. Beh?! forza... è solo una banale applicazione della RR, ricordando che le velocità si sommano in modo diverso...

    non mi deludete!!!! :roll:

  2. Paolo

    Caro Enzo, vediamo se riesco a trovare una soluzione... :roll:

    Per tale soluzione ho deciso di utilizzare la composizione relativistica delle velocità, considerata nelle due componenti x e y.

    Partendo dalla prima relazione che confronta le componenti x delle velocità:

    ux = (u’x + v)/(1 + vu’x/c²)

    quello che interessa però è ricavare cosa vede chi è in movimento, per cui basta cambiare il segno della velocità per ottenere:

    u’x = (ux – v)/1 – (vux/c²)

    la componete sulle ascisse è esprimibile anche come il coseno dei rispettivi angoli di U' e U, ma in questo caso bisogna tener conto del verso dei vettori, ossia:

    u’x = u’cos(180 + ϑ’)  e   ux = u cos(180 + ϑ)

    sostituendo quanto trovato nella relazione precedente:

    u’cos(180 + ϑ’) = (u cos (180 + ϑ) – v)/(1– (v u cos (180 + ϑ)/c²)

    -u’cosϑ’ = (-u cos ϑ – v)/(1 + (vu cos ϑ/c²)

    u’cosϑ’ = (u cos ϑ + v)/(1 + vu cos ϑ/c²)

    Applicando lo stesso procedimento all'asse y (anche se non avviene alcuna contrazione delle lunghezze sull'asse y, il tempo t è diverso da t'), si ottiene:

    uy = u’y √(1 - v²/c²)/(1 + vu’x /c²)

    cambiando segno a v:

    u’y = uy √(1 - v²/c²)/(1 - vux/c²)

    u’sin (180 + ϑ’) = u sin (180 + ϑ) √(1 - v²/c²)/(1 – v u cos(180 + ϑ) /c²)

    -u’ sin ϑ’ = -u sin ϑ √(1 - v²/c²)/(1 + (v u cos ϑ /c²)

    u’ sin ϑ’ = u sin ϑ √(1 - v²/c²)/(1 + v u cos ϑ /c²)

    eseguendo il rapporto tra  seno e coseno, ossia u’sin ϑ’/u’cosϑ’ :

    u’sin ϑ’/u’cosϑ’= u sin ϑ √(1 - v²/c²)/(1 + v u cos ϑ/c²)/(u cos ϑ + v)/(1 + (vu cos ϑ/c²)

    sin ϑ’/cosϑ’= u sin ϑ √(1 - v²/c²)/(u cos ϑ + v)

    divido il secondo termine per u

    Tg ϑ’= sin ϑ √(1 - v²/c²)/cos ϑ + v/u

    ma u non è altro che c

    Tg ϑ’ = sin ϑ √(1 - v²/c²)/cos ϑ + v/c

    ma √(1 – v²/c²) = 1/γ

    Tg ϑ’= sin ϑ / γ (cos ϑ + v/c)

    Paolo

  3. cosa si può dire confrontando il risultato classico e quello relativistico ?

  4. Paolo

    Le due formule, quella relativistica e quella classica, differiscono solo per il fattore γ al denominatore.

    A mio avviso si può dire che il risultato classico è solo un'applicazione della formula generale, ossia è la formula relativistica con γ = 1 (velocità non relativistiche con v<<<c).

    Per mostrare meglio il risultato ottenuto ho realizzato un grafico, che mostra come cambia il valore dell'angolo ϑ ' in funzione della velocità v/c (ossia β).

    Il grafico mostra tre curve, ognuna riferita ad un angolo ϑ di partenza.

    Guardando il grafico si nota che più la velocità tende a quella della luce, più la visuale viene compressa, fino ad arrivare all'estremo con v=c in cui qualunque sia l'angolo ϑ (quello del sistema considerato fermo) l'angolo ϑ' è uguale a zero...

    Ciò mi fa supporre che un'astronave che viaggia a velocità relativistiche subisca un effetto tipo grandangolo... :roll:

    Paolo

  5. Perfetto Paolo, c'è ben poco da aggiungere... :-P

  6. Arturo Lorenzo

    Bravo Paolo. Tempo fa , se non ricordo male, pubblicai qui sul Circolo il link di un sito dove ci sono tanti esempi di visualizzazioni relativistiche. A proposito dell'aberrazione , penso che ciò che si vedrebbe sarebbe, per esempio, questo (proprio l'effetto grandangolo a cui facevi riferimento) :

    v= 0,99c

    http://www.spacetimetravel.org/filme/tor_s5_0.99/tor_s5_0.99-xe-640x480.mpg

  7. Paolo

    C'è una cosa che mi incuriosisce... :?:  l'astronauta a certe velocità sembra poter vedere anche ciò che sta dietro..

    Per esempio, considerando che la visuale sulla sinistra dell'astronave sia uguale al massimo a 90°.

    Se l'angolo ϑ è uguale a 150°, e la velocità dell'astronave è di 0,9c l'angolo ϑ' è uguale a 81,13°...

    Nel video che hai postato però non noto questo effetto... poi a mio avviso sarebbe stato interessante mostrare prima l'immagine vista da un sistema considerato fermo... comunque il video mi sembra rendere l'idea... :-P 

    Paolo

  8. cari ragazzi,

    ma volete proprio anticipare quello che voglio raccontarvi con l'ellisse di aberrazione. Ancora un po' e la rendete inutile... ormai mi ha anticipate costantemente!!! Siete troppo bravi... quasi quasi vi lascio il circolo e mi ritiro veramente in pensione  :mrgreen:

    Comunque, ci sono dei video migliori, o -almeno- ve li potete costruire "abbastanza" facilmente! tenete presente che c'è anche l'effetto doppler... :wink:  L'aberrazione della luce è un fenomeno fantastico sia per "vedere" tutti i risvolti della RR, anche utilizzando Minkowski. Avrete pane per i vostri denti!

    Non per niente sto sprecando così tante parole e scritti per lei (viaggeremo anche fino al Sole...).

    Per Paolo: pensa al sincrotrone e capirai che tutto viene spinto in avanti  (parleremo anche di lui, solo che invece di ricevere... emette).

  9. Paolo

    Caro Enzo ho provato a tradurre quanto trovato in un'animazione.

    L'animazione si limita a mostrare il confronto tra i due angoli ϑ e ϑ ' al variare della velocità... è un pò come per il grafico precedente, cambia solo il linguaggio..

    L'intento è quello di mostrare solo che con l'astronave in movimento si amplia il campo visivo e nel contempo la visione viene “compressa”... sempre che sia corretto...

    Ragionandoci sopra, contrariamente a quanto si potrebbe intuitivamente pensare... se l'astronave parte verso un pianeta quello all'inizio sembrerà rimpicciolirsi (a causa della “contrazione” della visione)... solo successivamente comincerà nuovamente ad apparire più grande man mano che l'astronave si avvicina...

    Paolo

  10. quasi perfetto Paolino... l'aumento del campo visivo, però, sarebbe meglio farlo vedere come avanzamento di luce che viene dalle spalle e si rende visibile... Si costruisce sempre con il triangolo di aberrazione, solo che per quei raggi le stelle scappano indietro e non verso l'astronave... per cui l'angolo si allarga e non si stringe.

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