22/06/17

Soluzione del quiz sul righello verticale (verso strutture più complesse) **

Per una analisi completa delle "Visioni relativistiche" si consiglia di leggere il relativo approfondimento, del quale questo articolo è parte integrante.

 

Dato che il secondo quiz, insieme all’aggiunta , sono solo un punto di passaggio verso una costruzione più laboriosa e forse meno intuitiva, diamo una risposta abbastanza qualitativa, lasciando i calcoli esatti solo a chi avesse proprio voglia di “toccare con mano”. D’altra parte Arturo ha già indicato la strada da seguire nei commenti (QUI).

Ovviamente, la strategia è sempre lo stessa utilizzata per il righello posto in posizione orizzontale (QUI): tutto si riduce a definire gli istanti in cui i punti del righello devono inviare i loro fotoni affinché essi arrivino sulle macchine fotografiche M1 e M2 ai tempi te t2

Facciamo allora muovere con velocità relativistica il nostro righello. E’ chiaro, ormai, che i punti A ed E, i più lontani da M1, devono inviare per primi il loro raggio di luce. I fotoni (che ci interessano) partono dagli altri punti del righello non appena la distanza tra i punti e M1 è perfettamente uguale a quella che manca ai fotoni di A ed E per giungere su M1. In altre parole, questi sono i fotoni che riescono ad arrivare simultaneamente in M1 al tempo t0.  L’ultima a partire è, ovviamente, la luce emessa da C, il punto più vicino a M1.

La Fig. 1 mostra ciò che succede, ma è molto più esplicativa l’animazione preparata da Arturo, più immediata che non quella, parimente ben fatta, di Paolo.

Figura 1
Figura 1

 

Animazione
Animazione

I punti che mandano i loro fotoni in tempi diversi, ma tali da farli arrivare tutti assieme in M1, descrivono una curva che ha il vertice in C. I punti sono sempre punti dello stesso righello: ciò che cambia è il momento in cui consideriamo l’invio della loro luce e quindi, dato che il righello si avvicina a M1 con velocità v, essi sono relativi a posizioni sempre diverse del righello. Data la simmetria della figura (l’asse ottico di M1 passa per il punto di mezzo del righello ed è anche la direzione del moto), si ha sempre una coppia di punti da cui la luce parte simultaneamente, uno sopra e uno sotto all’asse ottico CM1, come A ed E, B e D, e così via. Solo il punto C rimane singolo e ultimo nell’inviare la luce che ci interessa.

Arturo, nel suo commento, ha dimostrato che questa curva è un’iperbole, di cui un fuoco è M1. Non sono stati svolti tutti i calcoli, ma, con le indicazioni date, non è difficile arrivare alla conclusione.

A noi, però, interessa sapere cosa fotografa M1. Dato che il suo asse ottico è proprio quello della direzione del moto (asse x), a sua volta perpendicolare al righello, ciò che colpisce il piano focale non riesce a evidenziare l’ascissa dei punti di invio. Può solo identificare la loro ordinata, ossia la distanza dal punto centrale C. In poche parole, alla macchina M1 non interessa assolutamente niente dell’iperbole! Ciò che impressiona la sua pellicola -o quello che preferite- è una linea perfettamente verticale, come disegnato nel riquadro piccolo (piano yz) inserito vicino a M1. Che il punto centrale abbia inviato la sua luce dopo quella inviata dagli estremi A ed E non può cambiare ciò che giunge tutt’assieme sulla macchina fotografica e che forma l’immagine. La distanza angolare tra A e E resta sempre la stessa ed è, ovviamente, uguale a quella visibile da M1 all’atto della partenza del righello.

Mettiamo, però, bene in chiaro una cosa: ciò che stiamo raffigurando è relativo a un solo istante t0. Se la macchina fotografica facesse un'altra foto al tempo t1 > t0, avremmo una diversa lunghezza dell’immagine del righello, dato che esso si è avvicinato, come mostra la Fig. 2 (aumenta la dimensione angolare).

Figura 2
Figura 2

Veniamo brevemente a M2. Vediamo la situazione dall’alto (Fig. 3), ossia lungo l’asse y. Il righello è un punto che indichiamo con A. In quel momento parte il suo fotone che giunge in M2 insieme a quello che parte da C in un tempo e in una posizione diversa. Ne segue che nella foto (piano xy) si vede l’iperbole prima descritta. La sua forma dipende molto dalla posizione di M2, ma su questo punto ci torneremo più avanti.

Figura 3
Figura 3

Digeriamo bene questa parte e prepariamoci a qualcosa di un po’ più complicato e di più “concreto”.

 

I quiz e l'appendice si trovano QUI, QUI e QUI.

QUI tutti gli articoli dedicati alle visioni relativistiche

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