Set 7

Viaggi interstellari, muoni, orologi reali e orologi spia: viva la RR *** (di Simone Lotti e Vincenzo Zappalà)

Questo articolo è inserito nella sezione d'archivio dedicata alla Relatività Ristretta

 

Simone Lotti ed io abbiamo finalmente partorito un paio di avventure spaziali che dovrebbero chiarire "definitivamente"(ma con la relatività ristretta non si è mai sicuri...) le apparenti discordanze che erano apparse nell'articolo sul muone. La simmetria è rispettata, ma non la simultaneità: orologio che vai tempo che trovi!

Prima di iniziare questo articolo, che vuole essere una risposta, per quanto possibile completa, a lettori come Enzo e Marco, vorrei fare un paio di considerazioni, anche abbastanza private, ma di cui desidero che anche i lettori di questo blog vengano a conoscenza.

Io amo moltissimo la Relatività Ristretta, anche se per quanto si pensi di averla digerita completamente, vi è sempre qualche  eventualità che sembra gettare confusione e incertezza. Bisogna, in particolare, essere sempre lucidi e razionali. Purtroppo, in questo periodo, subisco degli alti e bassi di concentrazione che mi fanno essere ben lontano da quello che dovrebbe essere il mio livello NORMALE di attenzione. Ne sono seguite risposte spesso confuse, lacunose e -soprattutto- fuorvianti.

Il vero punto di "discordia" era che io stavo considerando come età una differenza di tempi, mentre Simone parlava proprio di lancetta dell'orologio. Non avevo afferrato a pieno questa differenza fondamentale o -meglio- avevo trascurato di leggere attentamente, da cui tutta la discussione praticamente inutile.

Devo dire grazie a Simone che, con i suoi sacrosanti dubbi e correzioni, mi ha stimolato a riprendere in mano la situazione, così come l'avevo affrontata in tanti articoli e -soprattutto- nel libro La Favola di Muo. Tra parentesi, invito tanti a comprarlo... non è per denaro, dato che ci guadagno circa un euro a copia, ma perché penso che riesca veramente a far capire certi concetti base sui sistemi di riferimento e sulla simultaneità. Non ditemi che di fronte al prezzo degli smartphone e degli altri aggeggi simili, quello del libro sia insostenibile... (trasformarlo in ebook è molto complicato a causa delle figure e il prezzo che mi chiede la casa editrice per farlo non sarebbe pareggiato forse nemmeno se diventasse un bestseller  di Bruno Vespa o dei tanti virologi che più che studiare sembra che pensino a scrivere).

Mi sono dato una scossa e tra una bega e l'altra ho ripreso la giusta concentrazione. Insieme a Simone abbiamo preparato un testo e delle figure che dovrebbero essere sufficienti per qualsiasi interpretazione  si voglia dare alla faccenda. Il tutto è stato inserito in un viaggio spaziale "realistico" che riesce a coprire tutti i casi che sono stati sollevati dai lettori.  Per non farci mancare niente, abbiamo anche rappresentato il viaggio in due modi diversi (uno continuo e uno spezzato in due). Ho anche deciso di eliminare certi commenti relativi all'articolo su Muo per non sollevare ancora più confusione. Questo articolo dovrebbe essere la risposta!

Spero proprio di mantenere nuovamente questa concentrazione e di essere all'altezza dei lettori di questo blog, che è diventata per me una vera e propria ancora di salvezza. Va bene, bando agli affari troppo privati e iniziamo il nostro viaggio.

 

Un passaggio ad alta velocità

Un vero "lupo dello spazio", un astronauta A che ha girato in lungo e in largo la nostra galassia, è in procinto di sorvolare la Terra e di visitare una certa stella S posta a una certa distanza dal nostro pianeta. Sia la Terra T che la stella S hanno orologi che segnano tutti lo stesso tempo, per lontani che siano tra loro. In poche parole, stella e Terra fanno parte di un unico sistema di riferimento. Consideriamo pure la Terra come origine degli assi spazio e tempo di questo sistema, pur sapendo benissimo che poco importa il punto ZERO. Quello che conta è che la lunghezza di un asta rigida e che il moto delle lancette di un orologio siano sempre gli stessi in qualsiasi punto dello spaziotempo. Inoltre, non importa tanto l'ora che segnano, ma il trascorrere del tempo su di essi, ossia l'intervallo di tempo che trascorre, sui loro orologi, tra due eventi (per evento si intende un "punto" dello spaziotempo).

Dobbiamo già dare qualche avvertimento. Abbiamo parlato di distanza, ma essa è un qualcosa che non è assoluta (come siamo abituati a pensare noi nel nostro mondo), ma relativa al sistema che stiamo analizzando. Facciamo un esempio: per noi terrestri la distanza tra Roma e Napoli è sempre la stessa sia per chi viaggia in auto o è su una spiaggia a prendere il Sole o è in aereo tra Roma e New York. Nell'avventura che stiamo per raccontare, ciò non è più vero. La distanza tra due eventi dipende fortemente dal sistema in cui siamo. Discorso analogo vele per il tempo che trascorre. Gli orologi di chi è in aereo o in treno o sulla spiaggia girano tutti con la stessa cadenza (tic-toc-tic-toc...) e poco importa se le lancette non segnano la stessa ora (abbiamo imposto del fusi orari). Ciò che importa è che gli intervalli tra un evento e un altro contengono lo stesso numero di secondi. Nel racconto ciò non è più vero, in modo analogo alle distanze.

Entriamo, allora nell'avventura, cercando -grazie a Minkowski- di rappresentare quanto detto finora in un solo diagramma. Attenzione, però... le coordinate di un sistema e quelle di un altro sistema, entrambi inerziali, ossia in moto reciproco con velocità costante, vengono misurate su assi spazio e tempo diversi tra loro e con un'unità di misura diversa. In poche parole, ma fondamentali, le coordinate di uno stesso evento variano da un sistema all'altro. E questo vale sempre, anche se i due sistemi hanno, per nostra convenienza, la stessa origine O.

Inoltre, per maggiore precisione e concretezza, dato che abbiamo parlato di sistemi inerziali, dobbiamo trattare tutta l'avventura senza alcuna fermata, dato che il fermarsi implicherebbe un cambio di sistema di riferimento, cosa che non ci possiamo permettere in relatività ristretta. Spesso si dice "Facciamo partire l'astronave da un certo punto della Terra". Già questo fatto crea confusione, dato che la parola "partire" implica un cambiamento di stato, o meglio di sistema, e questo non è ammesso nella relatività ristretta. La nostra avventura, infatti, non accetta MAI fermate, così come non ha nessun bisogno di un inizio e di una fine. I sistemi sono sempre inerziali e la loro velocità relativa deve rimanere sempre la stessa per tutto il racconto. Gli attori possono anche guardare dal finestrino, ma non possono cambiare sistema. Spesso e volentieri questa accortezza non è usata, ma ciò implica automaticamente dei salti temporali che diventano difficili da digerire e possono creare confusione. Seguiamo, perciò, un approccio perfettamente relativistico.

Entriamo nella Fig. 1 senza farci spaventare. Ci sono tanti orologi, ma potremmo anche disegnarne di più  (lo potete fare voi stessi una volta compresa appieno la figura in cui si nota subito una perfetta simmetria). Nella figura siamo entrati nello spaziotempo di Minkowski, ma non potete certo pretendere una spiegazione a riguardo. Ne abbiamo parlato e riparlato: questo articolo deve dare per buona la conoscenza di questo fantastico diagramma. La figura è stata usata molte volte nel blog, ma, adesso, vogliamo anche introdurre  ciò che è avvenuto prima di un certo INCONTRO tra Terra  astronauta. In tal modo si rappresenta benissimo sia il caso del viaggio dalla Terra verso una stella, sia il caso del muone (un viaggio da una "stella" alla Terra), casi questi che sono perfettamente simmetrici come è giusto che sia!

Figura 1

Ipotizziamo una certa stella R, che poi lasceremo al suo destino, in modo da fare iniziare il viaggio ben prima dell'incontro con la Terra.  Nel sistema Terra questa stella si trova a una distanza d dalla Terra, così come d è la distanza tra la Terra e la stella S meta del viaggio. Utilizziamo come sistema in quiete, ossia quello con gli assi spazio e tempo ortogonali tra loro, quello della Terra e delle stelle, ma potevamo benissimo utilizzare come sistema in quiete quello dell'astronave, dato che il moto è relativo: non sarebbe cambiato niente! Ciò è possibile perché entrambe le linee di Universo dell'astronauta e della Terra non subiscono cambiamenti di pendenza, ossia perché i sistemi sono inerziali. Oltretutto, anche se abbiamo effettuato una scelta nella rappresentazione, possiamo, comunque, con minima fatica mentale, spostarci sul sistema non ortogonale, ossia quello non in quiete, e analizzare la faccenda secondo il suo punto di vista, utilizzando sempre la stessa figura.

Quando l'astronauta si trova a sorvolare la stella R, il suo orologio può segnare qualsiasi ora, ossia la sua lancetta può trovarsi in qualsiasi posizione del quadrante; in parole povere non ci interessa quando sia stato fatto partire. La stessa cosa possiamo dire per l'orologio della stella R, la posizione della sua lancetta è del tutto scollegata e indipendente rispetto alla posizione di quella dell'astronauta. Quello che ci interessa descrivere è come, da un certo evento in poi, varia il loro movimento reciproco.

Nella figura, l'evento IR (incontro "fisico" tra stella R e astronauta A) vede orologi discordi e non ha senso confrontare l'ora segnata. Tuttavia, possiamo imporre una certa condizione: vogliamo che l'orologio della Terra e l'orologio dell'astronauta abbiano le lancette coincidenti quando l'astronauta sorvolerà la Terra (una nostra scelta, del tutto plausibile). Non è difficile da ottenere considerando gli assi x e t del sistema Terra e gli assi x' e t' del sistema astronauta. In altre parole, imponiamo che le origini dei due sistemi di assi coincidano nel punto IT

Una imposizione che non cambia assolutamente l'essenza del problema, ma che ci può far comodo per valutare più facilmente gli intervalli di tempo misurati nei due orologi e la posizione della loro lancetta in altri eventi descritti nel racconto.  Pensiamo bene cosa vuol dire l'evento IT... Un evento in cui la distanza tra Terra e astronave è ZERO e in cui gli orologi segnano esattamente la stessa ora, ossia le lancette sono proprio coincidenti.

Per ottenere questa configurazione è fondamentale saper disegnare la posizione della terra T e della stella S quando l'astronave sorvola la stella R. Quali sono le posizioni spaziotemporali in cui gli orologi del sistema astronauta segnano tutti la stessa ora? facile, tutti quelli che stanno lungo una retta parallela a t', ossia tutti gli eventi SIMULTANEI nel suo sistema. Qualsiasi sia loro distanza da A (astronauta "fisico) poco importa, essi devono segnare tutti la stessa ora, per definizione di sistema di riferimento (ricordate l'interrogazione di Newton ed Einstein ?)! Affinché gli orologi della Terra abbiano la lancetta coincidente con quella dell'astronauta nel punto IT, la terra T DEVE TROVARSI  in TR e la stella da raggiungere in SR, quando l'astronauta si trova in IR. La lancette dell'orologio terrestre in TR e quelle dell'orologio dell'astronauta in IR DEVONO COINCIDERE: solo così avverrà l'incontro IT con i due orologi a lancette coincidenti.

Questo fatto è ovvio nella rappresentazione di Minkowski: il tempo proprio, ossia il tempo uguale per tutti i sistemi di riferimento, ossia quello misurato da un solo orologio (che è un invariante), è esattamente uguale solo se l'astronauta si trova in IR e la Terra in TR (basta tracciare il ramo di iperbole verde per convincersene). Se le lancette segnano la stessa ora sia nell'orologio rosso dell'astronauta in IR sia nell'orologio azzurro della Terra in TR, essi segneranno la stessa ora quando astronauta e Terra saranno in IT. Questo è un punto fondamentale, da capire molto bene! L'astronauta lungo la linee del tempo rossa e la Terra lungo la retta verticale del suo tempo azzurra, impiegheranno lo stesso tempo (proprio o invariante) ad arrivare in IT.

Notiamo subito un altro fatto fondamentale. Gli eventi simultanei nel sistema rosso dell'astronauta (ossia dove i suoi orologi segnano la stessa ora) deve stare lungo una parallela a x'. Gli eventi simultanei nel sistema azzurro della Terra devono invece stare su una parallela all'asse x. Ne segue che orologi che segnano tempi simultanei nel sistema astronauta, se si confrontano con gli orologi del sistema Terra, posti nella loro stessa posizione, vedono configurazioni reciproche sempre diverse.  La stessa cosa capita per gli orologi del sistema terrestre: anche essi vedono ore diverse se osservano orologi del sistema astronauta. Questa è la vera essenza della relatività ristretta: la non simultaneità degli eventi nei due sistemi. Solo comprendendola perfettamente si posso affrontare i "falsi" paradossi della RR.

La parte relativa al PASSATO, ossia la parte che precede l'incontro IT, ci dimostra già la dilatazione dei tempi e il significato ambiguo della parola gemelli (ossia di pari età).

Spostiamo perciò la lancetta dell'orologio dell'astronauta in modo che siano nella stessa posizione del sistema terrestre quando saranno in IT. Ovviamente, questo vale, per quanto abbiamo detto, se la Terra e la stella S sono nella particolare posizione che abbiamo descritto prima.

Un orologio terrestre azzurro posto in I(che segna lo stesso tempo dell Terra in TP)  vede la lancetta dell'orologio rosso più avanti della sua, mentre quando saranno in IT coincideranno. La Terra deve concludere che l'astronauta ha impiegato meno tempo ad arrivare in IT, ossia il suo tempo è trascorso più lentamente. Ma vale anche il viceversa. L'orologio rosso dell'astronauta posto in T1R (che segna lo stesso tempo di quello posto in IR) vede la lancetta dell'orologio azzurro della Terra più avanti delle sua, mentre quando saranno in IT dovranno coincidere. L'astronauta deve concludere che l'orologio della Terra ha girato più lentamente del suo. La simmetria è perfetta!

Diciamo la stessa cosa in altro modo...

Immaginiamo che gli orologi siano biologici e che quello rosso indichi l'età VERA dell'astronauta, così come quello azzurro segni l'età VERA del terrestre.  L'orologio del sistema terrestre posto in IR, che confronta il suo orologio con quello dell'astronauta, lo vede più vecchio, ma quando entrambi raggiungono I, l'orologio azzurro si accorge che ora hanno la stessa età. Ne conclude che  l'astronauta  è invecchiato meno di lui. Vale però la stessa cosa se passiamo nel sistema rosso. Quando l'astronauta giunge in IR, l'orologio del suo sistema posto in T1R, che può confrontare il suo orologio con quello della Terra, lo vede più avanti, ossia la Terra (o -se volete- un terrestre) appare più vecchia di lui. Tuttavia, quando saranno in I dovrà ammettere che adesso hanno la stessa età. Il che vuol dire che deve concludere che il terrestre è invecchiato di meno. La simmetria è perfetta, ma il significato di più vecchio, più giovane, gemello, cambia completamente (ossia si inverte) a secondo del sistema di riferimento sotto cui descriviamo l'avventura spaziale.

Cari amici, questa è la RR e ognuno può divertirsi a descrivere l'avventura come meglio preferisce. Chi comanda l'intera faccenda è la perdita di simultaneità passando da un sistema all'altro! Nessuno dei due è VERAMENTE più giovane o più vecchio... tutto dipende dal sistema di riferimento che si utilizza. Nel nostro racconto, solo quando sono in IT possono veramente concordare (l'evento è indicato dalle stesse coordinate in entrambi i  sistemi), dato che le coordinate sono le stesse in entrambi i sistemi.

Dal punto IT in poi tutto viene ribaltato e quando l'astronauta arriva in IS vede la stella S più giovane di lui (basta confrontare gli orologi nel punto S1, simultaneo con quello nel punto IT, e nel punto S). Identica cosa vede però la stella che ha l’orologio sincronizzato con quello della Terra.

La Fig. 2 fa il riassunto di quanto è capitato.

Figura 2

La linea inclinata rossa spessa e quella verticale blu spessa indicano tempi uguali (tempi propri dell’astronauta e della Terra, rispettivamente), La linea verticale verde spessa indica il tempo misurato, dalla stella e dalla Terra, tra la partenza di A da IR e il suo arrivo in IS. Potete anche spezzarlo in due tronconi, metà da IR a IT e metà da IT a IS. Questo è un tempo improprio, ossia la stella e la Terra hanno visto la lancetta dell’astronauta girare più lentamente della loro. Il tratto inclinato nero è invece il tempo improprio misurato dall’astronauta. Anche lui ha visto la lancetta della stella e della Terra girare più lentamente della sua.
Ponendo uguale a 2 (da -1 a + 1) il tempo proprio impiegato dall’astronauta per fare tutto il viaggio, si possono inserire tranquillamente i relativi valori del fattore di Lorentz γ, che misurano concretamente i vari intervalli di tempo trascorsi.

Un discorso del tutto simile potrebbe essere fatto per le distanze. Quella propria (posta uguale a 1), vista dall'astronauta si accorcia in d', mentre quella vista dalla Terra d si accorcia in modo equivalente. Tuttavia, le distanze le tratteremo meglio alla fine del secondo viaggio, interpretato in modo un po' diverso (scegliete voi quello che preferite, tanto descrivono la stessa identica avventura!).

 

Orologi reali e orologi spia 

Abbiamo due orologi che viaggiano nello spazio. L'orologio rosso lo chiamiamo ASTRONAUTA (A), l'orologio azzurro che viene incontrato lo chiamiamo TERRA (T) ). Per comodità di descrizione, lo spazio è rappresentato in una sola dimensione e, sempre per comodità di disegno, consideriamo fermo l'orologio azzurro e in movimento  quello rosso. Dato che il movimento reciproco avviene a velocità costante possiamo tranquillamente fare questa ipotesi, così come potremmo anche mantenere fisso A e rappresentare il movimento di T.

Rappresentiamo il tutto nello spaziotempo relativistico e usiamo il diagramma di Minkowski. Per non usare la parola "partire", che fa subito pensare a un cambiamento di sistema di riferimento, ipotizziamo che i due orologi siano già in movimento reciproco. Per rendere il tutto "pratico", ipotizziamo anche che la velocità relativa tra T ed A sia di 6 anni luce ogni 10 anni (ossia pari a 0.6 volte la velocità della luce che possiamo porre = 1).

Per poter eseguire dei confronti tra il tempo che passa su A e su T, ipotizziamo che l'orologio di T e quello di A segnino la stessa ora quando avviene l'incontro (evento I). In tal modo le coordinate spaziotemporali dell'evento IT sono (0,0), sia per A che per T. Disegniamo  anche gli assi spazio e tempo relativi al sistema A. Non ci meravigliamo di certo se essi sono inclinati rispetto a quelli di T: questa è la rappresentazione di Minkowski che conosciamo molto bene

La Fig. 3 mostra la situazione, prendendo con sistema considerato in quiete quello di T.

 

Figura 3

Gli orologi reali (ossia quelli che viaggiano con A e con T) sono segnati con lo sfondo colorato (azzurro quello di T e rosa quello di A). Disegniamo nella figura gli orologi "reali" e i rispettivi tempi propri secondo le regole di Minkowski (in verde è segnata l'iperbole di calibrazione). Si nota bene, ovviamente, che ogni orologio deve muoversi lungo la propria linea di Universo e deve segnare lo stesso tempo proprio (invariante).  Ne segue immediatamente che esiste solo un evento (IT) che ammette un confronto diretto tra orologi REALI. Tuttavia, sappiamo che sia T che A posseggono una quantità infinita di orologi "spia" che, pur trovandosi a distanze qualsiasi nello spazio, indicano la stessa ora dell'orologio reale.

Quando entrambi gli orologi sono in IT, si possono confrontare due orologi reali  ed essi indicano lo stesso tempo (proprio), ossia zero. Questa è un'ipotesi del problema, anche se potremmo prendere ore qualsiasi, dato che l'importante non è il tempo segnato in IT, ma la differenza di tempo che passa nei due sistemi di riferimento.

Nel sistema di T esiste una stella S che si trova a una distanza propria da T uguale a d e nel nostro caso consideriamo d = 6 anni luce. Bene, vogliamo sapere che tempo sarà segnato dagli orologi dei due sistemi di riferimento, quando A si troverà a incrociare S in IS. Come tutte le stelle, però, S non possiede orologi e deve accontentarsi di usare l'orologio "spia" di T che esiste sicuramente nella sua posizione e che segna sicuramente la stessa ora di T.

Bene... passiamo al calcolo utilizzando anche il ben noto fattore di Lorentz γ che, nel nostro caso vale 1.25 (il fattore è relativo alla velocità reciproca dei due sistemi e non dipende certo da che sistema abbiamo ipotizzato come in quiete).

Facciamoci la seguente domanda fondamentale: "Quando l'orologio reale di A arriva in IS dove si trova l'orologio reale di T ?". Per quanto abbiamo visto precedentemente, esso si deve trovare in TF. Questi sarebbero gli orologi che dovremmo confrontare tra loro e vedremmo che segnano la stessa ora (Fig. 4).

Figura 4

Questo confronto è, però, molto "soggettivo". Spieghiamoci meglio...

Quando l'orologio reale di T arriva in TF, i suoi orologi "spia" devono segnare tutti 8 anni, anche quello che si trova lungo la linea di Universo di S. Ma questi orologi sono sistemati sulla linea orizzontale, parallela a x e quindi l'orologio spia che sta sulla linea di Universo di S, non può confrontarsi con l'orologio reale di A che si trova già in IS.  Chi può fare il confronto sono gli orologi spia di T quando la retta parallela a x incrocerà quella passante per IS. Ma questo succederà quando essi segneranno 10 anni, compreso quello che si trova sulla linea di Universo di S.  Ne segue che per esso ci sono voluti 10 anni per incrociare IS, mentre per A ci sono voluti solo 8 anni.

Si può notare che è esattamente 10 (tempo proprio trascorso di T) diviso il fattore di Lorentz 1.25, ovvero 8 anni tempo improprio trascorso di A.

Vale, però, anche un'altra descrizione, altrettanto valida. Quando l'orologio di A giunge in IS i suoi orologi "spia"  sono piazzati  lungo la linea rossa parallela a x', compreso quello che si trova sulla linea di Universo di T. Ne segue che quest'ultimo non può fare il confronto con l'orologio reale di T che si trova in TF, ma con l'orologio di T prima che arrivi in TF , ossia quando è in P e segna solo 6.4 anni. Ne segue che per lui sono passati 8 anni, mentre per quello di T solo 6.4 anni.

Entrambi vedono l'altro più giovane, ma questo fatto non è assolutamente un paradosso, dato che vengono utilizzati sistemi di riferimento diversi o, se preferite, i tempi misurati si riferiscono a istanti simultanei diversi.

Possiamo anche affermare che per A il percorso effettuato non è di 6 anni luce. O meglio è più corretto dire che A si sente fermo e “vede” la stella S giungergli contro. Di conseguenza la distanza terra - stella si contrae di un fattore pari a 1.25, ovvero diventa 4.8 anni luce (vedi anche Fig. 6). Di conseguenza A giunge sulla stella in un tempo proprio pari a 4.8 diviso la velocità di 0.6 , ovvero realmente 8 anni.

Possiamo anche fare una analisi differente, e considerare che sulla stella ci sia una persona S coetanea con T. Sicuramente possiamo affermare che dal punto di vista di S e di T, quando A percorre il tratto da IT a IS, per S e T trascorre un tempo proprio pari a 10-0 ovvero 10 anni. Invece per A trascorrono 8-0 ovvero 8 anni. Sia S che T concordano nel dire che l’orologio di A ha girato più lentamente del
proprio.

Ma possiamo anche descrivere l’intera situazione dal punto di vista di A. Nel passaggio da IT a IS il suo orologio è passato da 0 a 8 anni, ovvero per lui sono trascorsi 8 anni. Ma cosa vede indicare sugli orologi di T e S? Per T lo abbiamo detto prima, quando A giunge in S, T segna 6.4 anni, ovvero per T sono trascorsi 6.4 - 0, uguale a 6.4 anni. Per S invece la faccenda è diversa. È vero che quando A giunge in IS l’orologio di S segna 10 anni (intersezione tra parallela asse di simultaneità x’ con la linea di universo di S), ma quando A era in IT, l’orologio di S non segnava certo 0. Quando l'orologio di A era in IT, i suoi orologi "spia” erano piazzati lungo l’asse x', che “intercettavano” l’orologio di S, che si trovava sulla linea di Universo di S, che segnava 3.6 anni. In parole semplici,  dal punto di vista di A, si ha che per S trascorrono 10-3.6 uguale a 6.4 anni. Anche A afferma di vedere l’orologio di S girare più lentamente del proprio.

Possiamo concludere che quando A giunge sulla stella, vede l’orologio di T segnare 6.4 anni, e vede l’orologio di S segnare 10 anni. Ma A ha visto anche girare sia l’orologio di T che di S più lentamente del proprio, ovvero ha visto sia T che S invecchiare meno di lui.
Ricordiamo anche che nel sistema terra stella gli orologi di T e S sono sincronizzati, ma visti dal sistema A non lo sono più.

Nello stesso modo si può analizzare la storia del muone. Basta soltanto ribaltare prima attorno all'asse t e poi attorno all'asse x la Figura 3 precedente (Fig. 5).

Figura 5

In questo caso leggiamo nel "passato" di A. Ipotizziamo che lui stia viaggiando verso la Terra T per incontrarla in IT. Come prima, vogliamo anche che i tempi propri di A e di T coincidano in tale evento, ossia siano entrambi uguali a zero. Per simmetria, indichiamo con R una stella che stia alla stessa distanza - d  dalla Terra T. Gli orologi reali, rosso e azzurro, devono stare  in IR e in TI, rispettivamente, affinché segnino la stessa ora (uguale a 0) quando sono in IT. Come prima, nel sistema di T, l'orologio rosso in IR viene visto essere più avanti ( - 8) di quello azzurro "spia"  (-10) e, quindi, dovendo azzerarsi entrambi all'arrivo in IT, l'orologio rosso impiega meno tempo, ossia viene visto nel sistema di T più giovane rispetto al passaggio da IR. Vale però anche la visione alternativa: l'orologio "spia" di A posto vicino a quello reale della Terra TI vede l'orologio di TI più avanti del suo e quindi nel suo sistema vedrà, quando giungeranno entrambi in IT, quello di T aver  impiegato meno tempo e quindi essere più giovane.

Entrambe le cose sono vere e del tutto plausibili nello spaziotempo di Minkowski. Ciò che li fa accettare entrambe è che si riferiscono nuovamente a tempi simultanei diversi nei rispettivi sistemi di riferimento.

L'astronauta A è il muone di nostra conoscenza. Il suo tempo viene misurato nel sistema Terra quando "nasce" in IR e quindi risulta più giovane quando tocca terra. Tuttavia, nel sistema del muone, la Terra "nasce" in TI e quindi per lui è altrettanto valido che essa appaia più giovane di lui.

Come cambiano i tempi di inizio avventura nei due sistemi, così cambiano anche le distanze reciproche (Fig. 6).

Figura 6

La distanza d' misurata nel sistema astronauta (muone) tra lui e la Terra è più corta di d (attenzione! sembra visivamente più lunga ma non lo è... ricordiamoci l'iperbole di calibrazione!). Quindi mentre la sua durata di vita si dilata per il sistema T, la distanza nel sistema astronauta (muone) si contrae. La stessa cosa capita per la distanza d'', misurata nel sistema Terra, relativa a una distanza di 6 nel sistema del muone (astronauta).

Concludiamo il tutto con una frase, forse un po' "rozza", ma che sintetizza il tutto e probabilmente risponde a Marco ed Enzo:

Il muone incontra la Terra, più giovane del muone terrestre, se la partenza viene DECISA dalla Terra (è lei ad azzerare entrambi gli orologi secondo il suo orologio spia). Il muone  terrestre arriva più giovane all'incontro se chi decide la partenza (e azzera gli orologi secondo la sua spia terrestre) è il muone cosmico. In realtà, siamo di fronte a due avventure diverse e non confrontabili, per quanto riguarda il momento della partenza, benché altrettanto valide e conformi alla RR.

In altre parole: la simmetria è perfetta, solo che i due attori principali, muone e Terra, nascono in tempi diversi a seconda del sistema che ipotizziamo in quiete.

Non confondiamo tutto ciò con il paradosso dei gemelli. In quel caso l'avventura è UNA SOLTANTO, ma entrambi i sistemi dicono la stessa cosa. Questa non è più RR.  Infatti, i sistemi di riferimento sono diventati 3 e non più 2.  Ad ulteriore conferma, se disegniamo il tutto rispetto alla Terra in quiete sia ha la ben nota figura con il percorso di andata e ritorno dell'astronauta. Ma se disegniamo il tutto considerando come in quiete il sistema di andata dell'astronauta, vediamo una figura del tutto DIVERSA e non più simmetrica (Fig. 5 e 6 di questo articolo)

In generale, per comprendere bene il significato degli orologi spia e per analizzare in modo semplice e completo l'avventura, partendo praticamente da zero, consigliamo vivamente il libro La Favola di Muo (non ve ne pentirete).

P.S.: pur avendolo letto e riletto, non possiamo assicurare che quanto detto nel testo usi gli stessi simboli di quanto indicato nelle figure... se qualcuno si accorge di una discrepanza ci aiuti a correggere.  Grazie!!

 

 

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