Gen 26

Una scatola, una lite, un fotone e la più celebre formula della fisica ***

Il quiz che ho inserito sul fotone, e sulla sua caratteristica di non potere mai essere fermo, si ricollega a un metodo estremamente sbrigativo e intuitivo (anche se non perfettamente corretto, ma a un tale livello che  -per ora- non fa per noi) che Einstein stesso ha ipotizzato attraverso un esperimento del tutto mentale. Si ricollega,in qualche modo, alla celebre scatola di luce (Einstein box), che il grande scienziato aveva escogitato durante le sue continue schermaglie scientifiche con Bohr (mai veri litigi, ma lotte e attacchi con il sorriso sulle labbra).

Si era a un punto in cui la meccanica quantistica e la relatività erano ormai di dominio pubblico, ma a Einstein non andava giù il principio di Heisenberg. Ogni giorno cercava di trovare un  esperimento mentale per distruggerlo e ogni giorno Bohr gli smontava il meccanismo. La scatola di luce sembrava essere proprio inattaccabile: Bohr, probabilmente, non  ha dormito per parecchie notti.

Poi, però, ha trovato il baco ed Einstein è ricaduto nel suo tormento esistenziale. Proprio a seguito di queste schermaglie sono nate le celeberrime frasi dei due geni. Quella di Einstein: “Non posso credere che Dio giochi a dadi” e la risposta di Bohr: “Smetti di dire a Dio che cosa deve fare”. Va ricordato, però, che i due erano profondamente amici e li spingeva solo la volontà di trovare la verità e non il desiderio di primeggiare.

Se pensiamo che questo periodo coincide con il Congresso di Bruxelles del 1927, a cui parteciparono 27 scienziati, di cui ben 17 avevano già preso il Nobel o l’avrebbero preso negli anni successivi, siamo scossi da un brivido che diventa ancora più forte guardando come molta ricerca e la scuola si siano ridotte al giorno d’oggi.

La scatola di luce vuole dimostrare che è possibile, pesando la scatola prima e dopo che da essa esca un raggio di luce, determinare il tempo esatto di uscita e l’energia, in quel preciso momento, attraverso la relazione E = mc2. In poche parole, si distrugge il principio di indeterminazione. Dopo momenti di terrore puro, Bohr usa proprio la relatività  per smontare l’esperimento mentale, dato che la forza di gravità deve entrare in gioco nell’operazione di pesatura e influenzare il tempo e, quindi, la misura dell’istante esatto di uscita. Per adesso fermiamoci qui, ma speriamo di tornarci sopra, un giorno, con maggiori dettagli.

Utilizziamo, invece, una versione un po’ diversa della scatola, per ricavare proprio la celebre formula, sfruttando la conoscenza della quantità di moto di un fotone e l’immobilità del centro di massa di un sistema su cui non agiscono forze esterne. Un metodo decisamente geniale e di una semplicità spaventosa. Attenzione, però, alla “rete”… spesso lo si trova descritto in modo errato e si arriva alla soluzione inserendo un errore (voluto o non voluto, non si sa…). Nessun problema, noi lo risolviamo in modo estremamente intuitivo e senza tante formule.

La situazione è quella descritta nella Fig. 1.

Figura 1
Figura 1

All’interno di una scatola (immaginata nel vuoto assoluto), che ha un certo baricentro e una certa lunghezza D, viene fatto partire un  fotone da uno dei suoi lati (per esempio quello sinistro). Il fotone porta con sé una certa quantità di moto, come ci dice la Meccanica Quantistica. Ne segue che per poterlo conservare, la scatola deve “rinculare” verso sinistra di una certa quantità s. In brevissimo tempo, il fotone arriva sul lato opposto dove viene assorbito. Come conseguenza, la scatola si ferma. Tutto bene? No, assolutamente no!

Non vi sono state forze esterne al sistema, eppure il baricentro della scatola si è spostato. L’unico modo per risolvere il paradosso è accettare che il fotone abbia una certa massa e che il suo spostamento abbia cambiato il baricentro totale durante la sua traiettoria. Il baricentro prima e dopo deve rimanere sempre lo stesso.

Qualcosa del genere era già successo su Papalla durante una regata velica… (QUI e QUI). Forse, quando ho scritto quel quiz avevo già in mente, inconsciamente, la scatola di Einstein. Non so, può darsi… In ogni modo, sono sicuro che i papallicoli, prima o poi, ce la racconteranno di nuovo, mostrando anche i suoi risvolti relativistici.

Vedete com’è facile su Papalla passare dai giochi sportivi alla fisica classica e a quella più moderna, che sembra ancora un tabù per le scuole medie (e forse anche per i licei)? Basta andare per piccoli passi, comprendendo anche le cose più semplici e alla fine, quasi senza accorgersene, si è in grado di passare a problematiche come quelle della MQ e della RR. Senza basi, però, si rimane nel caos più completo e si perdono occasioni magnifiche di divertimento papalliano!

Torniamo a noi e al fotone che … scappa verso destra. Poche formule, veramente banali…

Sappiamo dalle basi della MQ e, in particolare, dall’effetto Compton (potete vedere QUI e QUI … una bella ripassata non fa mai male…), che il fotone (anche se non dovrebbe avere massa) porta con sé una quantità di moto che è data da:

qF = E/c

dove E è l’energia.

La scatola rincula di una certa lunghezza s, mentre il fotone percorre una distanza D. La quantità di moto totale deve conservarsi ed essere uguale a zero.

qF – qS = E/c – Mv = 0

dove qS è la quantità di moto della scatola, M la massa della scatola e v la sua velocità di rinculo.

D’altra parte, il baricentro deve stare fermo. Ipotizziamo che il fotone abbia una certa massa m.

Si ha, per la conservazione della posizione del baricentro, che:

Ms – mD = 0

Ossia:

Ms = mD     …. (1)

Riprendiamo l’espressione della quantità di moto:

qF – qS = E/c – Mv = 0

Al posto di v scriviamo s/t

E/c – Ms/t = 0

Ma t non è altro che D/c (il tempo che la luce impiega per percorrere tutta la scatola). Possiamo perciò scrivere:

E/c – Msc/D = 0      …. (2)

Basta ricavare Ms dalla (1) e sostituirlo nella (2):

E/c – mDc/D = E/c – mc = 0

E, infine:

E/c = mc

Ossia:

E = mc²

In realtà, la massa del fotone esiste perché lui è sempre in movimento ed è collegata strettamente all’energia (anzi è proprio un’energia “scalata” secondo una costante). La fisica classica viene letteralmente stravolta...

Veramente banale. Non illudiamoci, però… Noi arriveremo alla stessa formula seguendo la dinamica relativistica, passo dopo passo, seguendo tutti i cambiamenti necessari per accettare la RR e capire le sue modificazioni sulla dinamica classica.

Tuttavia, potete usare questa geniale scatola einsteniana per spiegare la celeberrima formula a chiunque abbia una minima conoscenza del concetto di baricentro, di quantità di moto e delle basi più semplici della MQ. Maglio ancora se ha partecipato a una regata velica su Papalla!

29 commenti

  1. Daniela

    Sarai anche un vecchietto, ma mi sta venendo il fiatone a starti dietro :oops:

    Comunque, GRAZIE per tutti i suggerimenti che stai seminando nei vari articoli... bisognerebbe essere "di coccio" per non coglierli. Ora non resta che coltivarli con amore e farli sbocciare!! :-D

  2. cara Dany,

    ti ringrazio, ovviamente, anche perché hai capito perfettamente la smania che mi spinge. Comunque, non posso certo pretendere che stiate dietro a tutto. Vorrei solo lasciare tante pietrine sperando che, anche dopodomani, vengano raccolte da Pollicino... Vi prego di non considerarle delle spinte continue... capisco benissimo i problemi della vita di tutti i giorni e non vorrei sembrare uno fuori dal mondo reale... Ma l'Universo è così bello e semplice: sarebbe un delitto non dare tutte le possibilità per comprenderlo.

    Sai, quando scrivo certe cose, ho davanti a me gli occhi brillanti di tanti geni, la loro onestà intellettuale, la forza della verità, la voglia di poterla dimostrare, la loro umiltà enorme di fronte alla realtà della Natura e non riesco mai a non commuovermi un poco. Nel mio piccolissimo non posso lasciare niente di intentato... Sono un illuso, ma la colpa è vostra, che mi avete fatto capire che non è tempo perso!  :-P

  3. Daniela

    Tranquillo... tu continua a seminare, sono convinta che a raccogliere saranno più di quanti pensi!

    E non preoccuparti del mio fiatone, con un po' di allenamento passerà! :wink:

  4. umberto

    il trasporto di massa che avviene tramite il fotone è molto chiaro; scusa se ti chiedo una delucidazione; sono andato a vedere gli articoli sulla MQ , per la spiegazione del fatto che E=q/c; io l'ho trovato qui:

    http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2015/03/04/effetti-e-principi-della-meccanica-quantistica/

    ma lì lo si dimostra (non so se ho guardato nel punto giusto) sfruttando proprio

    la E= mc^{2}

    lo riporto qui:

    q = mv

    ma, per il fotone, v = c

    q = mc

    ma so anche che E = mc2  (lo dice il nostro amico Albert…), ossia m = E/c2  e, quindi, sostituendo:

    q = Ec/c2 = E/c

    non è un pò un cane che si morde la coda?

  5. caro Umberto,

    hai ragione... Io avevo usato la formula per dimostrare velocemente la quantità di moto (avevo fatto il contrario). tuttavia la q = E/c nasce dalle leggi di Maxwell e quindi era stata ricavata dalla pressione di radiazione ben prima della formula di Einstein... Sai, gira e rigira, tutto si basa proprio sul fatto che esiste una quantità di  moto del fotone. Questa può essere scritta in base a esperimenti vari, ma alla fine Einstein ne ha dato la descrizione corretta e allora può essere usta al contrario...

  6. caro Umberto,

    hai ragione... Io avevo usato la formula per dimostrare velocemente la quantità di moto (avevo fatto il contrario). tuttavia la q = E/c nasce dalle leggi di Maxwell e quindi era stata ricavata dalla pressione di radiazione ben prima della formula di Einstein... Sai, gira e rigira, tutto si basa proprio sul fatto che esiste una quantità di  moto del fotone. Questa può essere scritta in base a esperimenti vari, ma alla fine Einstein ne ha dato la descrizione corretta e allora può essere usata al contrario...

    Se troviamo che partendo da x si arriva a y... si può anche partire da y e arrivare a x. :wink:

  7. umberto

    La fisica mi affascina ma é troppo pragmatica. Non è certo una critica al lavoro appassionato che fai per la divulgazione, ho capito che é così in generale. La mia confusione é sempre grande in fisica rispetto alla logica-matematica.Qui siamo in MQ ma per spiegare una cosa dobbiamo tornare indietro a Maxwell ,poi ritornare ai fotoni. Comunque non sapevo che si potesse dimostrare uguaglianza con la pressione di radiazione, e non saprei nemmeno dove andare a cercarla., senza questo cade la dimostrazione

  8. caro Umberto,

    tieni presente che certe scoperte sono arrivate praticamente tutte assieme. Maxwell ha dato una certa via da seguire che la MQ è riuscita interpretare in un certo modo. Scattering come quello di Compton dimostrano che la luce ha una certa quantità di moto, ma non è ancora come dire che la massa è uguale all'energia.  Ognuno ha messo un piccolo tassello, che a posteriori acquistano unità ed equivalenza. Bisognerebbe fare una storia storica oltre che una storia scientifica, ma... noi facciamo quello che possiamo...

    Fidati, la scatola di Einstein, anche se a posteriori è pur sempre una conferma della massa del fotone ed è una netta prova che essa non è altro che energia...

    Scusatemi, ma cerco di fare quello che posso con i limiti di spazio e di limitazioni di complessità...

    Forse, bisognerebbe rimanere nella fisica classica fino a Maxwell e poi andare oltre, ma non crediamo che Maxwell sia facile da digerire...

  9. Mik

    Da questo discorso mi par quasi più fondamentale capire come faccia il fotone ad avere una quantità di moto dopodiché E=mc^2 è una conseguenza più o meno banale...

    In giro si legge di tutto tra cui il fatto che la massa è "energia concentrata" ma a me questa definizione non dice nulla. L'altra cosa che non comprendo appieno è l'esempio classico della esplosione nucleare, o il suo opposto della fusione: due protoni che unendosi generano qualcosa che ha meno massa dei protoni di partenza. Ok nella reazione se ne va un fotone gamma che si porta via la massa in eccesso ma allora cosa rimane veramente dentro il nuovo nucleo? Due "miniprotoni"?

    Scusa se vado fuori argomento e anticipo questioni che magari affronterai più avanti.

  10. Cerco di sintetizzare, anche se la faccenda andrebbe molto per le lunghe. In qualche modo l'idea che il fotone avesse energia e portasse quantità di moto si derivava già dalle leggi di Maxwell, anche se la luce si rappresentava ancora come onda. La MQ ha assegnato questa doppia faccia alla luce e con i pacchetti d'energia ha determinato la relazione della quantità di moto e dell'energia, basandosi solo sulla frequenza e sulla costante.

    Nel frattempo Einstein ha ricavato le sue leggi relativistiche. Non c'è niente di errato nel ricavare un parametro da un altro e viceversa.

    Ovviamente, nel momento che si stabilisce che il fotone ha energia e quantità di moto non è difficile ricavare che la massa è energia, mantenendo la definizione classica di quantità di moto.

    In ogni modo, se la descrizione precedente può sembrare del tutto ovvia, arriveremo alla formula in  modo più graduale e "formale".

    Per la trasformazione di massa in energia e viceversa, ricordo che qualcosa si era già detto sia nel decadimento alfa e beta, sia nella fusione nucleare. I protoni come tutte le particelle hanno una massa che si identifica anche con la loro energia e quindi non si tratta di mini-particelle, ma di particelle più o meno energetiche.

    Aiuto!!! Non possiamo fare tutta la fisica attraverso articoli di un blog!! Ci sono i libri più o meno professionali per questo. Noi cerchiamo solo di dare infarinature e prospettare problemi e soluzioni. Di tutto, ma non tutto!!!

  11. umberto

    A pensarci bene basta sapere che q = E/c deriva dalla pressione di radiazione di Maxwell perchè tutto vada a posto.Non occorre dimostrarlo. Io avevo solo seguito i link alla MQ mi ero trovato al punto di partenza.  Ignora il mio precedente commento, quello che ho scritto non è valido. Per il resto è già troppo quello che fai .

  12. caro Umberto,

    sono contento che si sia trovato un accordo!

    Da Maxwell e dalla MQ si trova la formula q=E/c. Tuttavia, sapendo da Einstein che E= mc2 è facile utilizzarla per capire a fondo cosa significa l'effetto Compton... Ogni cosa è legata all'altra in una grandiosa visione d'insieme...

    Comunque, è molto meglio trovare E= mc2 attraverso la sola RR... si nota molto meglio la sua grandezza e non si sfrutta qualcosa che aveva già sfruttato il risultato per essere descritto meglio... Va beh... basta se no mi si lega la lingua :mrgreen:

    Magari, oggi stesso proseguo con la qm senza più uscire troppo di strada con rischi di creare confusione... :roll:

     

  13. michele

    A me sembra tutto un tantino forzato. Il fotone sta a rappresentare uno scambio di energia interna tra le due pareti della scatola: la prima si raffredda, la seconda si scalda. Il tutto senza che l'energia cinetica della scatola e la sua quantità di moto abbiano a risentirne. Che io sappia, l'energia irradiata viene facilmente misurata, il rinculo da scambio di qdm non è mai stato misurato, o forse sì?

  14. caro Michele,

    penso che Einstein spesse bene quello che diceva... (non me lo sono certo inventato io). La perdita di energia di cui parli tu fa parte proprio dell'equivalenza massa-energia. Non si conserva solo l'energia cinetica, ma tutta l'energia. E' chiaramente un esempio molto semplificato, di tipo divulgativo, ma che ha dietro di sé tutte le carte per essere accettato a qualsiasi livello.

  15. Supermagoalex

    Visto che si parla di Einstein vi consiglio un libro che è appena uscito in edicola (fa parte di una collana) a 1,99€, in cui si parla della sua vita e delle sue teorie, con numerosi aneddoti. Anche la parte teorica, grazie agli insegnamenti del nostro Prof, l'ho digerita benissimo  :wink:

     

  16. umberto

    Ho letto quel libro.. ma qui si sta facendo di meglio. Quando il Prof. avrà finito con la dinamica relativistica qui ci sarà del materiale inedito sulla RR che non si trova in nessun testo divulgativo (o che almeno io non ho trovato)

  17. caro Umberto,

    troppo buono... :oops:

    Il problema è che la dinamica relativistica si trova in giro, ma normalmente ai due estremi. O si dà solo una descrizione qualitativa con il solo vero interesse di fare emergere (senza spiegazioni) la E= mc2, con poche spiegazioni sulla sua vera essenza; oppure si fanno trattazioni professionali un po' troppo impegnative per la divulgazione. Le vie di mezzo (capire e non accettare soltanto) vanno spesso a finire contro qualche passaggio un po' artefatto e/o confuso, se non addirittura errato.  Io cerco solo di mantenere un rigore assoluto, evitando tutti quei risvolti che possono anche essere  trascurati senza ledere una giusta comprensione generale. Insomma, cerco di barcamenarmi... :roll:

    Tuttavia, si dice che l'Universo sceglie le sue leggi in modo da garantire che non vi sia mai troppo caldo o troppo freddo... beh, lasciatemi sperare che io cerchi di fare la stessa cosa... 8-O

  18. umberto

    Non mi riferivo solo alla Dinamica Relativistica. Già il lavoro sulla simultaneità come lo hai impostato e tutto il resto che riguarda la Cinematica relativistica è presentato in un modo originale e completo.  Volevo solo dire che quando ci sarà anche la dinamica relativistica avremo una trattazione completa sulla RR . E non si sa mai che qualcuno si prenda la briga di organizzare il tutto in un unico testo

  19. caro Umberto,

    chissà... per adesso l'importante è che ci sia qualcuno con grande volontà e passione che renda utile il mio lavoro... :wink:

  20. Phi.mi

    Buongiorno prof. Vincenzo Zappalà,

    è la prima volta che scrivo un commento qui.

    Prima di tutto voglio ringraziare lei ed i suoi collaboratori per lo sforzo divulgativo che portate avanti attraverso queste pagine web e per la chiarezza con cui sono sviluppati gli argomenti . Le garantisco che c'è n'è molto bisogno.

    L'accenno alla Quantità di Moto del Fotone q_{F}=E/c, a cui si fa riferimento in quest Post, mi ha richiamato alla mente la questione del "EM Drive" che da qualche tempo è tornata alla ribalta come possibile futuro metodo di propulsione spaziale, un metodo innovativo proposto dai membri di un gruppo di ricercatori NASA del Johnson Space Center .

    Mi pare che al momento la questione sia ancora abbastanza controversa e che la comunità scientifica nutra dei dubbi sulla validità dei test dimostrativi condotti fin'ora.

    Le sarei grato se in futuro volesse provare a spiegare in cosa consisterebbe questa propulsione senza espulsione di massa, quali principi fisici sarebbero coinvolti, come un sistema nel quale energia (sotto forma di Radio Frequenza) viene immessa in una cavità possa consentire la propulsione, ecc... in sostanza come funzionerebbe (o al contrario, perchè non potrebbe funzionare :oops: ).

    Mi rendo conto che quello che chiedo riguarda una questione complessa ma confido nelle sue doti di sintesi e nell'efficacia comunicativa che contraddistingue i suoi bei Post.

    Grazie per l'attenzione.

  21. caro Phi.mi,

    intanto grazie mille per l'apprezzamento! Riguardo all'EM drive devo ammettere che non ho grandi conoscenze. Tuttavia, mi hai dato un ottimo stimolo e ti prometto che, finita la dinamica relativistica che mi sta ancora prendendo parecchio tempo, mi metterò a pensarci sopra. Se dovessi dimenticarlo (cosa molto facile ormai...) ti prego di ricordarmelo!!!!

    a presto

     

  22. Bello e interessante

    ma il fotone deve percorrere la distanza D o una minore: D-s visto che la scatola gli va incontro?

  23. caro Gianni,

    la distanza è sempre la stessa. D'altra parte la luce non si compone con altra velocità. La luce parte da un lato e deve arrivare all'altro. Nel sistema di riferimento della scatola deve percorrerla tutta.

  24. Gianni Mastropaolo

    lo sospettavo, ma avevo bisogno di una conferma. Grazie, sei molto paziente e gentile.

  25. Sai Gianni, è un po' come l'uomo che si sposta da un lato all'altro della barca per farla muovere, sfruttando il fatto che il baricentro deve restare fermo, non avendo agito nessuna forza esterna su di lui: fermo era e fermo deve restare :wink:

  26. PapalScherzone

    Caro Gianni,

    se vuoi divertirti con un quiz su questo argomento, ambientato su Papalla, puoi trovare QUI la domanda e QUI la soluzione!

     

  27. caro Papalscherzone,

    guarda che il quiz era già ricordato nel testo di quest'articolo... :roll:  Tu scherzi sempre, eh... :mrgreen:

  28. PapalScherzone

    Macché... è vero che scherzo sempre, ma questa volta è un problema diverso... anche su Papalla il tempo scorre sempre in avanti e i papalli invecchiano!!! :lol:

    Diciamo che avrei dovuto rileggere l'articolo invece di fidarmi della mia memoria, perdindirindina :roll:

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