26/04/24

(Q) Due quarti di cerchio (con soluzione)***

Consideriamo la figura che segue:

Tracciare la retta rossa che interseca la circonferenza di raggio unitario in due punti A e B.  Dal punto E, tracciare la perpendicolare a questa retta tale che anch’essa intersechi la circonferenza in due punti C e D, imponendo che BE = ED.

Facendo centro in E disegnare due quarti di cerchio tali che il più grande abbia raggio AE e il più piccolo abbia raggio ED.

Si chiede:

Quanto misura l'area gialla ?

SOLUZIONE nei commenti... Andy è un perfetto collaboratore !!!

9 commenti

  1. Andy

    Ho la sensazione di "fiutare"  π/2....

  2. Andy

    Per come è costruita la figura, le due corde AB e CD sono ottenute casualmente (in base alla distanza OE) ma comunque sempre della stessa lunghezza.

    Allora nulla vieta di costruire la figura con le due corde AB e CD di misura pari al raggio unitario:

    In questo caso, i triangoli AOB e COD sono equilateri e l'angolo ∠AOC = 150° (ottenuto per differenza nel quadrilatero AOCE.

    Per il teorema del coseno applicato al triangolo AOC posso scrivere:

    AC^2 = 1^2+1^2-2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot cos(150)

    ma il coseno di 150° è pari al coseno di 30° cambiato di segno ovvero  cos(150)=- \frac{\sqrt 3}{2}

    allora AC^2 = 2 + √3     →    AC = √(2 + √3)

    Ma AC è anche l'ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele AEC per cui EA = EC = √( (2 + √3)/2 )

    e per differenza EB = ED = √( (2 + √3)/2 ) - 1

    EB = ED e EA = EC sono i raggi delle due circonferenze concentriche, quindi la somma dei loro quadrati moltiplicata per π/4 da iol valore dell'area gialla; ma la somma dei due quadrati è pari a 2 per cui l'area gialla misura π/2.

    Nel caso in cui le due corde AB e CD degenerano in due singoli punti:

    i due cerchi concentrici si sovrappongono (hanno lo stesso raggio) e il cerchio sovrapposto, avendo lo stesso raggio del cerchio in alto a sinistra, riempirà metà della sua area totale ovvero la somma di due quarti uguali.

    Praticamente, fissato un determinato riferimento degli assi perpendicolari rosso e blu, per ogni traslazione contemporanea e dello stesso passo del rosso verso l'alto-basso e del blu verso sinistra-destra, le dimensioni delle due corde uguali AB e CD e di conseguenza dei due raggi EA ed EB, varieranno (quando un quarto aumenta l'altro rimpicciolisce e viceversa), ma la somma dei quadrati di tali raggi rimane costante e pari a 2,

     

  3. Andy

    Un caso generale in linea con l'ipotesi, utilizzando il teorema del coseno e le regole di trigonometria per gli angoli associati:

  4. e senza trigonometria? Praticamente  "a mente" ?

  5. Andy

    Caro Enzo

    hai ragione, avevo la soluzione "in casa" e non me ne ero accorto....Vabbè, è valso come ripasso di trigonometria!

  6. ottimo Andy... Io ho maneggiato un po' con trapezi isosceli, ma la relazione finale è la stessa...

  7. sprmnt21

    Sia R il raggio EA ed r il raggio EB. Sia H la proiezione di O sulla corda, ad esempio, CD.

    Si BH = (R+r)/2, mentre CH = (R-r)/2.

    Per Pitagora, (R+r)^2/4 + (R-r)^2/4 = 1.

    Cioè R^2+r^2 =2.

    L'area cercata è R^2 π/4 + r^2 π/4, che, per la precedente, diventa π/2.

     

  8. sprmnt21

    Se E è interno al cerchio, valgono le stesse formule con i ruoli scambiati.

  9. sprmnt21

    AEC è rettangolo isoscele con ∠CAE = 45°. Questo implica che CB = √2. Ma CB ^2 = CE^2 + EB^2 = R^2 + r^2.

    Il resto segue come sopra.

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