17/03/19

Donne STEM nella storia (Appendice 1): IL TEOREMA DI NOETHER

Partorito nel 1918 da Emmy Noether (della cui vita e opere abbiamo parlato QUI), questo è considerato uno dei più geniali teoremi che la mente umana abbia mai concepito, la spina dorsale della fisica moderna, che ha trovato applicazioni negli ambiti più diversi: dalla meccanica quantistica, allo studio delle particelle elementari, dalla termodinamica, alla teoria della relatività, diventando uno degli strumenti più affilati per la comprensione delle leggi naturali. Sviscerarlo a livello matematico va ben oltre le nostre possibilità, ma possiamo provare a comprenderne i concetti e l'enorme portata scientifica.

 

Simmetrie / asimmetrie dell'Universo e leggi di conservazione

Quanto segue è estratto, con qualche rielaborazione, da una pregevole presentazione del Dott. Mauro Fiorentini, tenuta nel maggio 2018 presso l' IIS Racchetti-Da Vinci di Crema.

Il video è a questo indirizzo: https://www.youtube.com/watch?v=Tme_rXYnrWI

Le leggi di conservazione descrivono il fatto che in un sistema isolato certe grandezze fisiche si conservano. Tra queste, con il trascorrere del tempo, se ne sono scoperte molte, come: la quantità di moto, il momento angolare, l'energia totale, la carica elettrica... e forse altre come il numero di quark, il numero di leptoni (elettroni, mu, tau e neutrini associati).

La prima legge di conservazione proposta fu la legge di conservazione della materia (Lavoisier, 1772). La seconda fu la legge di conservazione dell'energia in termodinamica, nella seconda metà del XIX secolo. Ambedue sono state dimostrate false, perché la materia può essere trasformata in energia e viceversa, e sono state sostituite da una legge più generale: si conserva l'energia totale di un sistema isolato comprendendo anche l'energia equivalente alla massa.

Si scoprì anche che alcune grandezze, che sembrava si dovessero conservare, in realtà non si conservano sempre: la temperatura media che reazioni chimiche o fenomeni fisici possono cambiare; il numero di barioni (protoni, neutroni...) che, in particolari reazioni nucleari, può cambiare. A questo si tentò di rimediare con la legge di conservazione dei loro componenti, detti “quark”.

Queste leggi, inizialmente, furono interpretate come leggi di natura, principi primi indimostrabili. Oltre un secolo fa iniziò a farsi strada l'idea di spiegarle mediante principi più profondi, in un certo modo più semplici, collegandoli al fatto che certe leggi della fisica presentano spiccate simmetrie.

Attenzione non stiamo parlando di simmetrie di “oggetti”, di strutture fisiche, ma di simmetrie di “regole” e di “processi”.

Quando a fronte di  uno stesso stimolo si manifesta regolarmente la stessa risposta, siamo in presenza di una simmetria di comportamento  del sistema, un preciso segnale che esiste una legge che si mantiene valida nello spazio e nel tempo.

La presenza di questo comportamento ripetitivo è la conseguenza di una caratteristica strutturale del sistema, una trama  omogenea che reagisce sempre allo stesso modo. Vedendo il fenomeno dal lato opposto, se esiste un meccanismo preciso e immutabile, ogni volta che entra in azione produrrà il medesimo effetto.

Il teorema di Noether (a cui abbiamo accennato QUI), benché abbia una formulazione tecnicamente complessa e per essere dimostrato richieda la padronanza di concetti matematici non elementari, afferma un concetto semplice: Quando una legge fisica è invariante rispetto a una trasformazione, esiste una grandezza esprimibile mediante una “corrente” che si conserva.

Detto in modo più semplice: se una legge fisica non cambia per una qualche trasformazione di coordinate (come lo spazio e il tempo), esiste una legge di conservazione per una quantità associata alla legge.

A questo punto è d'obbligo proporre un esempio.

La legge del moto rettilineo uniforme s= s0+vt è invariante se si trasla il sistema di coordinate, spostando l'origine. Il valore di s0 sarà diverso ma la formula resterà la stessa.

Quindi esisterà una grandezza associata alla legge che si conserva, in questo caso sarà la quantità di moto mv, ovvero la velocità, se la massa non cambia e non ci sono forze esterne (ricordiamo che il sistema è isolato).

Questo non è altro che il principio di inerzia.

Ma qual è la causa della conservazione?

La conservazione di molte grandezze nasce dall'invarianza delle leggi della fisica rispetto a certe trasformazioni di coordinate, ma la simmetria delle leggi non è casuale, riflette una simmetria più profonda dell'Universo: la legge del moto rettilineo uniforme è simmetrica per traslazione delle coordinate perché lo è l'Universo.

Abbiamo quindi una catena di conseguenze: L'universo presenta certe simmetrie, le leggi fisiche esprimono queste simmetrie tramite formule, a loro volta invarianti rispetto a qualche trasformazione di coordinate. Il teorema di Noether afferma che ci deve essere qualcosa che si conserva.

Ogni legge di conservazione non fa altro che esprimere una simmetria dell'Universo.

Naturalmente, quando si parla di simmetrie, si intende che si devono rimuovere gli effetti esterni che dipendono da fattori locali.

Ad esempio, la traiettoria di un proiettile di cannone non è esattamente la stessa all'Equatore o al Polo Nord: dipende dall'effetto della rotazione terrestre (ricordate Coriolis?), non dall'asimmetria dell'Universo.

Un altro esempio è il fatto che un pendolo non oscilla allo stesso modo sulla Terra e sulla Luna, perché in questo caso è diversa l'accelerazione di gravità che sulla Luna è più piccola.

Riassumendo, ecco le varie simmetrie che si possono riscontrare e le loro conseguenze:

Tipo di simmetria Conseguente conservazione
Traslazione nello spazio Quantità di moto
Rotazione Momento angolare
Traslazione nel tempo Energia
Meccanica quantistica (carica, spin, etc) Carica elettrica

Riteniamo che l'Universo sia simmetrico per traslazione e rotazione, che sia simmetrico nel tempo, che, inoltre, presenti varie simmetrie a livello quantistico, simmetrie complesse da esprimere ma con effetti macroscopici semplici da enunciare: conservazione della carica elettrica, del numero di quark, del numero di leptoni, etc.

Dire che l'universo è simmetrico per traslazione significa dire che se riproduciamo lo stesso esperimento un centinaio di metri (o un milione di chilometri) più in là, ci attendiamo gli stessi risultati. Questa sembra una cosa intuitiva, un postulato, ma i fisici non la possono accettare senza averla verificata tramite osservazioni.

Misure astronomiche indicano che, almeno per i fenomeni accessibili, in particolare le reazioni nucleari, le leggi e le costanti fondamentali sono rimaste invariate per almeno 13,7 miliardi di anni e sono invarianti su distanze di miliardi di anni luce.

A meno che varie costanti fisiche non cambino insieme nel tempo, in modo perfettamente sincronizzato: un evento che non può essere totalmente escluso, ma che appare estremamente improbabile.

Ma in questo contesto di simmetria non esistono eccezioni?

Certamente esistono, anche se alcune simmetrie sembrerebbero “ovvie”, non è proprio così. Ogni tanto si scopre, sorprendentemente, la negazione di qualche simmetria, la sua rottura. Perché l'Universo è meno semplice di quanto ci piacerebbe pensare.

Una di queste sorprese riguarda la simmetria speculare. Dato che tutte le leggi della meccanica classica sono simmetriche specularmente.

Ma nel 1957 si dimostrò che le forze in gioco nelle interazioni deboli non rispettano la simmetria speculare. Chien-Shiung Wu, una scienziata cino-americana riuscì a dimostrare la violazione di parità, ottenendo risultati differenti tra l'esperimento che aveva messo a punto e la sua versione speculare.

Solo la forza nucleare debole presenta questa asimmetria, quindi fenomeni del genere non si osservano nella vita quotidiana.

Raggiunti dalla notizia dell'esperimento di Wu, alcuni fisici della Columbia University si precipitarono a modificare un ciclotrone per riprodurlo.

Essendo sera tarda, utilizzarono materiali di fortuna per montare l'apparecchiatura, tra i quali: un'asse di legno sorretta da un barattolo di caffè, una lattina di Coca-Cola, una bottiglia di aranciata, come sostegno intorno al quale avvolgere spire di un magnete… e tanto nastro adesivo per tenere insieme il tutto.

L'esperimento ebbe successo alle 2 del mattino, mostrando un'asimmetria nel decadimento beta del cobalto-60, ma fu interrotto dalla fusione della bottiglia di plastica. Solo 4 ore dopo fu possibile ripristinare l'apparecchiatura. Non c'è da stupirsi se davanti ad eventi così eccezionali anche i fisici cedano all'entusiasmo.

Per “salvare” il concetto di parità, crollato a seguito di quella violazione, i fisici ipotizzarono, in un quadro più generale, una simmetria superiore: la simmetria cosiddetta CP, un tipo di simmetria in cui si realizza lo scambio di particelle con le corrispondenti antiparticelle (simmetria C=Carica) e la simultanea inversione delle coordinate spaziali (simmetria P=Parità). In questo modo un esperimento dà lo stesso risultato anche nella versione speculare.

Ma la legge della forza nucleare debole non ha questa simmetria, infatti nel 1964 a Brookhaven fu annunciato il primo esperimento nel quale la simmetria CP non vale, in forma indiretta, e nel 2001, al CERN di Ginevra fu osservata la prima violazione della parità CP in forma diretta.

Quindi, invertendo specularmente l'apparecchiatura e scambiando le particelle con le corrispondenti antiparticelle, si ottengono risultati diversi.

La violazione della parità CP è fondamentale perché mostra che esiste una asimmetria tra materia e antimateria.

Grazie a questa asimmetria, in un modo ancora da scoprire, il Big Bang ha generato più materia che antimateria. Se non fosse stato così le due forme si sarebbero annullate vicendevolmente e nell' Universo esisterebbe solo l'energia.

Se non ci fosse questa piccola asimmetria non esisterebbe abbastanza materia nell'Universo per formare stelle e pianeti e, conseguentemente, noi stessi.

Riassumendo:

L'Universo presenta alcune simmetrie ma non altre, anche se ci aspetteremmo la loro esistenza.

Dalle simmetrie derivano le leggi di conservazione

Dalle asimmetrie deriva la possibilità di non conservare alcune grandezze, come la somma tra materia e antimateria.

Stiamo parlando di tutto ciò grazie al fatto che esistiamo perché in parte l'universo è asimmetrico , e possiamo viverci comodamente dentro, grazie alle leggi di conservazione (se non esistessero non funzionerebbe nulla), sfruttando il fatto che per l'altra parte è simmetrico.

Fantastico, no?

2 commenti

  1. givi

    Ottimo, bravissimo. Spiegazioni chiarissime.

  2. Maurizio Bernardi

    Grazie Givi, ma è doveroso girare una consistente quota del tuo apprezzamento al   Dott. Fiorentini,  autore del video che ho citato.

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