Apr 16

I Racconti di Ciccio e Astericcio (14): QUATTRO PASSI NELLA STORIA DELLA SCIENZA (5° parte)

L'INFINITO DIALOGO TRA EINSTEIN E BOHR

Prosegue il fantasioso cammino della nostra improbabile combriccola di mici, ricci e alieni un po’ strani, nella storia del progresso scientifico. Se vi siete persi le puntate precedenti -  dall’antica Grecia alla Relatività, passando per Galileo e Newton – vi consigliamo di leggerle e farle leggere ai vostri figli o nipoti se ne avete. La loro lettura non è fondamentale per la comprensione dell’episodio che sta per iniziare, ma caldamente consigliata per dare uno sguardo d’insieme al cammino del pensiero scientifico (e poi, con tutta la fatica che abbiamo fatto, vorrete darci un pochino di soddisfazione, perdinciriccio :-P ?!?).

Al termine dell'episodio precedente, dopo che Einstein ha finito di raccontarci la “vera storia” della sua Relatività e di spiegarci in modo semplice i principi su cui si basa, viene raggiunto da Niels Bohr, ansioso – come sempre – di poter discutere animatamente con lui su qualunque argomento, in particolar modo sull’interpretazione della Meccanica Quantistica, alla quale ha dedicato gran parte della sua vita professionale, e non solo.

Ripartiamo da lì, chiedendo scusa ai nostri piccoli amici se questa volta dovranno stare in disparte limitandosi ad ascoltare quel fiume in piena di parole profuso dai litiganti più amici e più geniali che la storia della Scienza ricordi. Ma, soprattutto, cari Albert e Niels, chiediamo scusa a voi per avervi fatto pronunciare discorsi semplicistici e banali, certamente non all’altezza della vostra logica e potenza di pensiero. Non abbiamo dubbi, tuttavia, che comprenderete il motivo che ci ha spinto a farlo… speriamo solo di riuscire a centrare l’ambizioso obiettivo di suscitare in alcuni lettori curiosità e desiderio di approfondire la conoscenza dell’opera vostra e di tanti vostri illustri colleghi.

Un importantissimo grazie a Gabriella Greison, i cui libri e le cui pillole di fisica, sono stati il motore di questo dialogo e fonte di molte delle informazioni in esso contenute. Qualora dovesse leggerlo, speriamo che non ne rimanga delusa e che ritrovi in esso lo stesso spirito, anche se non le stesse capacità, che animano la sua opera divulgatrice portata avanti all’insegna di “Se la Fisica fosse insegnata a partire da questa foto e da quanto è bella, allora il vero boom di iscrizioni si avrebbe per le facoltà scientifiche”. La foto di cui parla è questa:

Questa foto è stata scattata al V Congresso di Solvay su "Elettroni e Fotoni" tenutosi a Bruxelles nell'ottobre del 1927. Dei ventinove personaggi raffigurati, diciassette erano o sarebbero diventati premi Nobel, ciò a dimostrazione dell'irripetibile periodo che per la Fisica furono gli Anni Venti.
Questa foto è stata scattata al V Congresso Solvay su "Elettroni e Fotoni" tenutosi a Bruxelles nell'ottobre del 1927. Dei ventinove personaggi raffigurati, diciassette erano o sarebbero diventati premi Nobel, ciò a dimostrazione dell'irripetibile periodo che per la Fisica furono gli Anni Venti del secolo scorso.

 

Infine il GRAZIE più importante – ogni tanto concedetecelo – al nostro caro Enzone Zappalà (alias Papamicio) che ha creato questa oasi meravigliosa nella quale è possibile fare interferire costruttivamente le nostre onde di pensiero.

 Ma, bando alle ciance, è arrivata l'ora di iniziare... BUONA LETTURA!

 

 

Giardino di Papamicio, da qualche parte dello spaziotempo…

Papamicio: …vi parlerò della sua Relatività Generale e anche di come sia stato fondamentale, suo malgrado, nel dare il via a quella meraviglia che è la Fisica Quantistica!

ALBERT EINSTEIN: Oddio! Non me lo ricordare se no viene il mal di testa anche a me. Se c’è una cosa che proprio non voleva andarmi giù e contro la quale mi sono strenuamente battuto era l’impostazione probabilistica data a quella branca della Fisica dalla Scuola di Copenaghen di Niels Bohr! Mi è sempre piaciuto pensare che la Luna sia lì al suo posto anche quando non la guardo… Dio non gioca a dadi, acciderbolina!

NIELS BOHR: Non sei tu che puoi dire a Dio come deve giocare! E poi… sbaglio o il 29 ottobre del 1927, al termine della cena di chiusura del Congresso Solvay, alzasti il tovagliolo in segno di resa e ammettesti che anche se Dio non gioca a dadi, ogni tanto qualche eccezione la fa?

Albert: Che piacere rivederti Niels! Carissimi, vi presento uno dei più grandi scienziati del XX secolo, nonché graditissima spina nel fianco nella mia vita privata e professionale! Non perdeva occasione per propinarmi, con quel suo stile unico e inconfondibile, la sua visione della Fisica Quantistica, quella branca della scienza che studia il microcosmo delle particelle! Dovevate vederlo com’era buffo quando respirava profondamente e poi, tutto d’un fiato, mi spettinava letteralmente nel tentativo di convincermi delle sue teorie! Forse è sua la colpa del mio ciuffo ribelle!

Niels: Parlare veloce era l’unico modo per far sì che tu ascoltassi ogni mia frase fino in fondo e non mi interrompessi né cambiassi discorso… la tua opinione era l’unica di cui mi importasse veramente, avrei fatto di tutto per convincerti delle mie idee!

Albert: Come quando, l’11 dicembre 1925 a Leida, facemmo insieme il tragitto dalla stazione al ricevimento per la celebrazione del cinquantesimo anniversario del dottorato di Hendrik Lorentz…

Niels: Ti confesso che quella passeggiata non fu casuale, l’aveva organizzata Paul Ehrenfest per darmi la possibilità di parlarti in privato prima di arrivare alla festa…

Albert: E parlammo… eccome se parlammo… non ci accorgemmo neanche di quante volte il tram percorse il suo intero tragitto tra un capolinea e l’altro prima di deciderci a scendere alla fermata giusta!

Niels: Mentre il buon Ehrenfest, che non voleva perdersi una parola delle nostre discussioni, si guardava bene dall’avvertirci che l’autista stava per chiamare la neuro…

Niels Bohr (1885-1962 Premio Nobel nel 1922) e Albert Einstein (1879-1955 Premio Nobel nel 1921) fotografati da Paul Ehrenfest l’11 dicembre 1925, in occasione dei festeggiamenti per il cinquantenario del dottorato di Hendrik Lorentz.
Niels Bohr (1885-1962 Premio Nobel nel 1922) e Albert Einstein (1879-1955 Premio Nobel nel 1921) fotografati da Paul Ehrenfest l’11 dicembre 1925, in occasione dei festeggiamenti per il cinquantenario del dottorato di Hendrik Lorentz.

Albert: Per fortuna non la chiamò e arrivammo in tempo all’evento, mi sarebbe dispiaciuto perdermelo. Hendrik è sempre stato un punto di riferimento per me, gran bella persona e scienziato eccezionale. E non lo dico solo per i suoi studi sulla contrazione dei corpi in movimento che hanno dato un contributo fondamentale alla mia Relatività… “la sua immancabile gentilezza, la magnanimità e il suo senso della giustizia, uniti ad una comprensione intuitiva della gente e delle cose, lo portavano a essere guida in ogni suo campo. Tutti erano contenti di seguirlo perché sentivano che non si esponeva mai per dominare, ma semplicemente per essere utile”.

Niels: Dici bene, Albert, egli ha contribuito al progresso di molti campi del sapere: i più conosciuti sono quelli sull’elettromagnetismo e l’elettrodinamica, oltre a quelli da te ripresi nella Relatività, ma non possiamo dimenticare ciò che ha fatto per lo studio degli elettroni, la termodinamica, l’idrodinamica, la teoria cinetica e quella sullo stato stazionario, lo studio della luce la sua propagazione. E ultimo, ma non per importanza, l’impegno profuso negli ultimi anni di vita per dare impulso alla nascente Fisica Quantistica che fu protagonista del V Congresso Solvay del 1927, poche settimane prima della sua morte. Aveva un’apertura mentale invidiabile e, facendo di tutto per favorire ed organizzare gli incontri tra noi scienziati, rendeva di fatto più facile la libera circolazione delle idee, quindi il nascere di nuove teorie. Ricordo che fu proprio dopo un’accesa discussione con te, in quel memorabile 11 dicembre 1925, che Pauli partorì il fondamentale Principio di Esclusione che porta il suo nome.

Albert:La gente non si rende conto di quale grande influenza abbia avuto Lorentz sullo sviluppo della fisica. Non possiamo immaginare come sarebbe andata se egli non avesse dato tanti contributi impareggiabili”.

 

Hendrik Antoon Lorentz (1858-1928 Premio Nobel nel 1902). In suo onore, nel 1925, è stata istituita la Medaglia Lorentz, uno dei riconoscimenti più ambiti, che tuttora viene assegnata ogni quattro anni a fisici teorici che si distinguono non solo per l’importanza dei contributi dati a varie discipline scientifiche, ma anche per le loro qualità umane.
Hendrik Antoon Lorentz (1858-1928 Premio Nobel nel 1902). In suo onore, nel 1925, è stata istituita la Medaglia Lorentz, uno dei riconoscimenti più ambiti. Tuttora viene assegnata ogni quattro anni a fisici teorici che si distinguono non solo per l’importanza dei contributi dati a varie discipline scientifiche, ma anche per le loro qualità umane.

Niels: Quando penso a lui, non posso fare a meno di paragonarlo ad un’onda di probabilità, onnipresente nella vita di tutti noi, che diventava reale nel momento in cui lo incontravamo…

Albert: Una bella immagine romantica, non c’è che dire, come favola mi piace! Ma, se vogliamo parlare sul serio, lo sai che per me questa storia della realtà che non esiste se non in presenza di un’osservazione appare priva di senso!

Niels: Ma per favore, Albert, non vorrai dirmi che l’apparente assenza di senso costituisce per te un problema? Proprio tu che, con la tua Relatività, hai messo in croce il senso comune, trasformando il tranquillizzante tempo assoluto in una variabile che si allunga e si contrae come un elastico! Galileo e Newton ti prenderebbero per matto se potessero ascoltarti, ma sarebbero loro in torto… anche ciò che appare privo di senso a volte ha senso da vendere! Solo che ci vuole un po’ per farlo comprendere a tutti.

Albert: Eh no, caro Niels, no davvero! Galileo e Newton mi ascolterebbero con interesse e non troverebbero la mia Relatività priva di senso: essi capirebbero subito che, pur se contraria al senso comune, essa non fa a cazzotti con quello che per me, così come per loro – i padri della Fisica moderna – è lo scopo primario della Fisica: DESCRIVERE IL MONDO COME E’, NON COME APPARE.

Niels: Ce l’hai tanto con me, mi accusi di limitarmi ad una superficiale descrizione di ciò che appare… ma non è, in fondo, la stessa cosa che facevano anche loro, la cui grandezza nessuno oserebbe mettere in discussione, quando descrivevano la caduta di un sasso dalla Torre di Pisa o il moto dei pianeti intorno al Sole? Ora che, grazie a te, conosciamo la vera natura della gravità, appare evidente che le loro formule ne costituiscono solo un’approssimazione, una semplice descrizione di ciò che appare! Saresti, quindi, pronto a sostenere che anche la Relatività del moto di Galileo e la newtoniana Legge di Gravitazione Universale sono teorie non complete??

Albert: Ma certo che no, visto che riescono a cogliere gli elementi della realtà che ci circonda! Volendo essere pignolo – quale in effetti sono – potrei dire che sono quasi complete. In fondo è stata la mia Relatività a completarle, aggiungendo ad esse la finitezza della velocità della luce, nonché la sua costanza in ogni sistema di riferimento, oltre al principio di equivalenza e, quindi, la vera natura della gravità in quanto deformazione dello spaziotempo. Immagina, piuttosto, cosa penserebbero di te, se ti ascoltassero mentre descrivi un atomo radioattivo che è contemporaneamente decaduto e non decaduto e che neanche lui, se avesse coscienza di sé, saprebbe in che stato si trova perché quello stato semplicemente non esiste finché qualcuno non lo guarda?!? “Non prenderci in giro” ti direbbero “è ovvio che quello stato esiste, siamo noi a non conoscerlo per carenza di informazioni, ma l’atomo lo conosce eccome, perché è la sua realtà!”. Ecco cosa ti direbbero… e, galileiano fino in fondo come ogni scienziato che si rispetti, sarei d’accordo con loro!

Niels: Per tutti gli orbitali di Rutherford! Stai forse insinuando che la mia teoria non rispetti il metodo scientifico galileiano? Stai per caso mettendo in dubbio la sua capacità di descrivere le osservazioni e di prevedere i risultati degli esperimenti?

Albert: Oddio, Niels, non fare il tragico per favore! Lo sai perfettamente che io non contesto la correttezza della tua interpretazione della Fisica Quantistica, ma ne contesto la completezza, in quanto non ci dà la capacità di comprendere la realtà fisica di un sistema. Grazie ad essa  potrai anche prevedere l’esito di un esperimento, ma non riuscirai mai ad estrarre il massimo dell’informazione da quell’esperimento. E per me, una teoria scientifica è tale se e solo se è sia corretta che completa!

Niels: Ma sì, sì… certo che lo so… ricordi, invece, quando ti eri interstardito di dimostrare che era contraddittoria? Quella tua scatola di luce mi fece andare di traverso la cena e passai una nottata in bianco in compagnia di Heisenberg, ma che soddisfazione guardarti negli occhi mentre smontavo le tue argomentazioni sfruttando proprio la tua Relatività!

 

Appendice - scatola_luce

 

Albert: Ah, non ricordarmelo! E io che ero convinto di essere riuscito a scardinare le fondamenta del tuo caro Principio di Indeterminazione, teorizzato proprio da quel “nazista” di Werner!

 

Appendice -onda_particella
QUI il dualismo onda-particella spiegata dal nostro amico Curiuss grazie ad un ornitorinco e un'attrice svizzera

 

Niels: Ma dai, non essere così severo con lui… Werner Heisenberg aveva i suoi difetti, ma era un caro ragazzo; lo conobbi nel 1922 in occasione del “Bohr Festival” a Gottinga, oragnizzato da Max Born per festeggiare il primo anno di vita del mio Istituto, durante il quale presentavo delle letture sulla struttura atomica. Aveva appena 21 anni ma già si stava facendo strada nell’ambiente scientifico grazie a doti fuori dal comune unite ad un’ambizione senza limiti. Pochi mesi dopo divenne assistente personale di Max Born e, nel 1924, quando era già pienamente qualificato per essere docente universitario, giunse finalmente a Copenaghen e si fermò per sette mesi grazie ad una borsa di studio. Quando vi tornò, nel 1926, prese il posto di Kramers come mio assistente personale e, da quel momento e per tanti anni a venire, fummo inseparabili. Sentivo il bisogno di confrontarmi con lui su qualsiasi argomento soprattutto perché, grazie alle sua infinita capacità di analisi critica, era sempre capace di trovare l’errore… ed io amo gli errori… è solo quando si cade in errore che si comincia a capire! "Si diventa esperti solo dopo aver commesso, nella propria personale esperienza, tutti gli errori che si possono commettere in un settore molto ristretto". Quante cose ho capito con lui, avevamo una grande sintonia sia umana che professionale, oltre a provare una stima reciproca profonda.

Niels Bohr in compagnia di Werner Heisenberg in momenti di relax
Niels Bohr in compagnia di Werner Heisenberg in momenti di relax

Albert: Il che fece crescere la già spropositata ambizione del ragazzo, al punto che, durante una tua settimana di vacanza nel febbraio del 1927, prese letteralmente possesso del tuo Istituto e, in pochi giorni,  partorì quel suo famoso Principio di Indeterminazione che mi sta tanto antipatico!

Niels: Proprio così! Ma io non ero invidioso, sai… ho sempre incoraggiato i miei studenti e collaboratori a crescere, ad essere sicuri delle proprie capacità, a non nascondersi dietro un velo ipocrita di falsa modestia. La più grande soddisfazione per un insegnante è vedersi superato in bravura da un proprio alunno, è solo così che il pensiero scientifico può progredire e prosperare. E ben venga l’ambizione sfrenata se è costruita su solide fondamenta, come era quella di Werner.

Werner Heisenberg (1901-1976 Premio Nobel nel 1932)
Werner Heisenberg (1901-1976 Premio Nobel nel 1932)

Albert: Si vocifera che non sia stato molto contento delle correzioni che apportasti al suo lavoro prima di darlo alle stampe…

Niels: Si vocifera bene! No, non fu molto felice dei miei ritocchi, ma poi si convinse che erano necessari: la sfrenata autostima non gli impediva di essere ragionevole! Cosa che, invece, non mi risulta essere vera per te che ti ostini a non voler prendere atto che l’impostazione probabilistica della Meccanica Quantistica è l’unica strada razionalmente percorribile!

Albert: Mai e poi mai! E non perché me lo impedisce l’autostima né l’orgoglio, ma perché sono profondamente convinto che l’indeterminazione che appare ai nostri occhi sia solo un frutto della nostra limitata conoscenza della realtà delle particelle! Se solo riuscissimo ad individuare quelle variabili nascoste che determinano il loro comportamento, allora tutto sarebbe chiaro e non avremmo bisogno di quei giochetti probabilistici per spiegarlo! Tutto rientrerebbe nei ranghi di una normalissima relazione causa-effetto.

Niels: Oh no! Ancora quelle variabili nascoste! Pensavo di essere riuscito a smontare quella specie di paradosso che hai dato alla luce con Podolsky e Rosen nel 1935 (vedi appendice), spiegandoti che l’osservatore e la particella entanglata fanno parte di un unico sistema e, una volta connessi, i sistemi atomici non si districano più, a prescindere da quanto siano distanti!

Albert: E no, mio caro, non ci siamo proprio! I tuoi sono solo giri di parole che non sciolgono la contraddizione che ho scovato nelle tue argomentazioni! Il tuo caro entanglement, l’intreccio di particelle che comunicano istantaneamente anche se distanti anni luce l’una dall’altra, si è rivelata un’arma a doppio taglio per la teoria che difendi a spada tratta! Tu sostieni che è l’osservazione a creare la realtà, però ammetti che l’osservazione di una particella A determini anche la realtà della particella B, entanglata con A, senza che nessuno osservi B. Ma, se la realtà di B può essere conosciuta senza essere osservata, ciò significa che quella realtà non è creata da alcuna osservazione e deve esistere come realtà fisica prima dell’osservazione! Peccato che la tua teoria non sia capace di descrivere quella realtà prima dell’osservazione… quindi, mi dispiace per te, ma la tua teoria è incompleta, semplicemente i-n-c-o-m-p-l-e-t-a. E quelle terrificanti azioni a distanza tra particelle entanglate altro non sono che la manifestazione di variabili nascoste nelle quali è codificato il comportamento delle particelle, ovvero la loro r-e-a-l-t-à! Trova le variabili nascoste e avrai tutte le risposte, altro che probabilità!!

Niels: Sei proprio senza speranza! Vorrei sapere perché continuo a sentire il bisogno fisico di confrontarmi con te su tutto, quello stesso bisogno che ho sempre sentito per il confronto con Heisenberg, ma per motivi opposti: tanta la sintonia con lui, quanta la distanza da te!

Albert: Però ci divertiamo insieme, di’ la verità, Niels…

Niels: Tantissimo…

Albert: Chi, invece, non è proprio riuscito a divertirsi con te è quel povero cristo di Schroedinger quando venne a farti visita nel giugno del 1926, all’indomani dell’elaborazione della sua equazione d’onda, secondo la quale quella che per te è solo una misura di probabilità, sarebbe una vera e propria realtà fisica.

Niels: Oh, povero me, non farmici ripensare… il rimorso per come l’ho trattato non mi hai mai abbandonato, ma in quel momento ero come ipnotizzato, non riuscivo a staccarmi da lui, dovevo convicerlo che la sua equazione d’onda misura la probabilità di trovare una particella in un determinato luogo in un determinato istante, ma niente ha a che fare con una realtà fisica di una particella che si trasformerebbe in onda quando non viene osservata. Non capisco come potesse essergli venuta in mente un’idea del genere!

Albert: Ma è vera la battuta che gli avresti fatto sui fumetti o è solo una leggenda metropolitana?

Niels: Perbacco se è vera, mi venne così, senza neanche pensarci… lui sosteneva che la mia idea dei salti quantici degli elettroni fosse priva di logica solo perché non si sa dove si trovi un elettrone mentre compie il salto, e io gli risposi che la domanda era priva di senso in quanto equivarrebbe a chiedersi cosa c’è tra un fumetto e l’altro nei giornalini americani! Dopodiché lo misi al tappeto con tre ore di spiegazione ininterrotta sull’atomo di Bohr, al termine della quale il povero Erwin cominciò a sudare, a tossire e starnutire, si vedeva che non stava bene e gli stava salendo la febbre, ma io non avevo intenzione di mollare. A quel punto arrivò mia moglie che, mossa a compassione, lo portò in camera affinché si mettesse a letto. E se lei non mi avesse trascinato a forza fuori dalla stanza, sarei rimasto lì, seduto accanto al letto, a continuare la mia probabilmente inutile opera di convincimento. La mattina dopo Erwin corse in stazione a prendere il primo treno per l’Austria, non prima, però, di essersi sentito dire dal sottoscritto “considero la sua teoria folle, ma non abbastanza per essere vera!”. Non capisco come mai non sia più tornato più a farmi visita… che strana persona.

Albert: Strano davvero, con quei buffi occhialetti tondi e il vistoso papillon... però era sempre circondato da bellissime donne, un vero sciupafemmine, cadevano ai suoi piedi una dopo l’altra, affascinate dalla sua parlantina. A me non dispiaceva, sai? Ho molto apprezzato, in particolare, il suo Paradosso del Gatto.

Erwin Schroedinger (1887-1961 Premio Nobel nel 1933)
Erwin Schroedinger (1887-1961 Premio Nobel nel 1933)

 

Niels: Figuriamoci se non apprezzavi quella roba lì! Tutto ciò che cerca di gettare ombre sulla mia Fisica Quantistica per te è oro che cola! Ma quando ti deciderai ad essere obiettivo?

Albert: Mai stato più obiettivo, mio caro! Quel gatto è l’ennesima dimostrazione dell’incompletezza della tua teoria, sei tu che dovresti iniziare a fartene una ragione. Anche se la sua vita dipende dal decadimento di un atomo radioattivo che, per te, in assenza di osservazione, può essere contemporaneamente decaduto e non decaduto, è ovvio che il gatto non possa essere contemporaneamente vivo e morto. Sarà vivo o sarà morto e lo scopriremo quando apriremo la scatola, ma l’incertezza sulla sua sorte dipende solo e soltanto dalla nostra carenza di informazioni finché non apriamo la scatola.

Niels: Ma no, ma no… neanch’io arrivo a sostenere che il gatto sia contemporaneamente vivo e morto durante l’esperimento, dico semplicemente che, finchè la scatola è chiusa, non abbiamo niente da dire sulla sorte del gatto in quanto non possiamo descrivere il suo stato in assenza di osservazione.

Albert: Mmm… mi sembra che tu ti stia arrampicando sugli specchi.

 

Gatto-Schroedinger

 

Niels: E’ snervante parlare con te, Albert, ma terribilmente stimolante. Riuscirò mai a farti cambiare idea?

Albert: Mai! Non perché non ammetta, in generale, la possibilità di cambiare idea, ma solo perché, in questo particolare caso, sono talmente convinto della mia che sarei pronto a scommetterci la testa con tanto di ciuffo ribelle! E al diavolo se quasi tutta la comunità scientifica si è schierata dalla tua parte, io non perderò mai la speranza che qualcuno, prima o poi, farà trionfare la verità!

Niels: Vacci cauto con le previsioni, mio caro, "è davvero difficile farne… specialmente per quel che riguarda il futuro". Io, per esempio, non sarei mai riuscito a prevedere che due tipi tosti come Werner Heisenberg e Wolfgang Pauli sarebbero diventati grandi amici… fu davvero bravo Werner a non farsi intimorire da “The Wolf” in occasione del loro primo incontro. Come era suo solito, Pauli ce la mise tutta per risultare insopportabile e, quando disse a Werner che non avrebbe mai perso tempo a leggere uno dei suoi lavori, egli rispose che si sarebbe impegnato per raggiungere un livello degno della sua attenzione. Wolfgang apprezzò la risposta e i due divennero inseparabili, non avrei potuto desiderare collaboratori migliori! Avresti dovuto vederli durante le mie lezioni: Werner gestiva la trombetta che poteva essere suonata solo da chi dava risposte giuste e Wolf era l’unico che poteva sparare col cannoncino a chi dava risposte sbagliate. Che risate, che bei tempi, che belle lezioni!

Conferenza di Copenaghen 1930. In prima fila da sinistra verso destra: Christian Klein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, George Gamow, Lev Landau, Hans Kramers.
Conferenza di Copenaghen 1930. In prima fila da sinistra verso destra: Christian Klein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, George Gamow, Lev Landau, Hans Kramers.

 

Sala lettura del “Niels Bohr Institute” 1937. I primi tre a sinistra in prima fila sono Bohr, Heisenberg e Pauli
Sala lettura del “Niels Bohr Institute” 1937. I primi tre a sinistra in prima fila sono Bohr, Heisenberg e Pauli

 

Wolfgang Pauli, Werner Heisenberg ed Enrico Fermi (1901-1954 Premio Nobel nel 1938) sul Lago di Como per la Conferenza Internazionale di Fisica del 1927, durante la quale Bohr presentò per la prima volta alla Comunità Scientifica l’interpretazione della Fisica Quantistica elaborata dalla sua Scuola, quella che diverrà in breve tempo (e tuttora lo è) universalmente riconosciuta come la più valida per trattare la materia. E’ conosciuta come “Interpretazione standard” o “Interpretazione di Copenaghen”.
Wolfgang Pauli, Werner Heisenberg ed Enrico Fermi (1901-1954 Premio Nobel nel 1938) sul Lago di Como per la Conferenza Internazionale di Fisica del 1927, durante la quale Bohr presentò per la prima volta alla Comunità Scientifica l’interpretazione della Fisica Quantistica elaborata dalla sua Scuola, quella che diverrà in breve tempo (e tuttora lo è) universalmente riconosciuta come la più valida per trattare la materia. E’ conosciuta come “Interpretazione standard” o “Interpretazione di Copenaghen”.

 

Albert: Davvero un tipo tosto il tuo Pauli-The-Wolf, ricordo che al termine di una mia lezione, con tono tronfio, si rivolse agli altri studenti dicendo “Sapete, non è poi così sciocco ciò che ha detto Einstein!”. E poi portava pure male, bastava che entrasse in un laboratorio o che solo gli passasse vicino, perché si verificasse qualche inspiegabile disastro; ricordi che coniai il termine “effetto Pauli” per identificare queste tragicomiche situazioni?

Niels: Non dirmi che sei superstizioso? Non ti vergogni?

Albert: Senti chi parla! Quello che ha appeso un bel ferro di cavallo sulla porta della casa di campagna!

Niels: Ma per chi mi hai preso… secondo me sono tutte fandonie! "Sembra, tuttavia, che portino bene anche a chi non ci crede!"

AH AH AH AH AH AH !!!!!

Albert: Tornando a Pauli, credo che quel velo di antipatia che si era calato addosso fosse solo una maschera, ma non sono mai riuscito a vederlo senza di essa, era davvero irritante.

Wolfgang Pauli 1900-1958 (premio Nobel nel 1945)
Wolfgang Pauli (1900-1958 Premio Nobel nel 1945)

Niels: Irritante, ma geniale! Non potevo fare a meno del suo giudizio quando si trattava di affrontare questioni di fisica pura. Se non fosse stato per la sua intuizione del Principio di Esclusione (vedi appendice), non avrei mai digerito la quantizzazione dell’energia, teorizzata da Planck e da te dimostrata con l’effetto fotoelettrico, né, quindi, avrei mai potuto migliorare la mia teoria atomica.

Albert: Eh già… il tuo modello di atomo del 1913 (vedi appendice) spiegava benissimo il comportamento dell’idrogeno che ha un solo elettrone, ma non scioglieva il mistero su come mai negli atomi con più elettroni questi non stazionino tutti nell’orbitale più interno.

Niels: Per fortuna Pauli comprese che ciascun livello energetico ha un numero limitato di posti per gli elettroni e gli altri devono accomodarsi su livelli superiori anche quando non sono eccitati. Et voilà! Col senno di poi sembra quasi ovvio e banale, ma chissà se ci avrei mai pensato da solo… forse no… è questa la forza del gioco di squadra, non avrei mai potuto vivere senza, avevo un assoluto bisogno di dialogo e di confronto continuo con i miei ragazzi, al punto che non c’era giorno che qualcuno non fosse ospite a casa mia, anche la notte. Quando chiesi a Margrethe di sposarmi, le proposi di diventare "mia moglie, madre dei miei figli e… dei miei studenti". Mi disse di sì e mantenne la promessa ogni giorno della nostra vita insieme, una vita splendida, non avrei potuto desiderare una compagna migliore.

 

La famiglia Bohr al completo in occasione del settantesimo compleanno di Niels (1955)
La famiglia Bohr al completo in occasione del settantesimo compleanno di Niels (1955)

Albert: Ahhh, l’amour… se solo si potesse descrivere con una formula matematica, sarebbe perfetto…

Niels: Qualcuno sostiene che Paul Dirac l’abbia fatto, avendo creato la più bella equazione della Fisica, l’equazione dell’amore (∂+m)ψ=0 secondo la quale, se due sistemi interagiscono tra loro per un certo periodo di tempo e poi vengono separati, non possono più essere descritti come due sistemi distinti, ma diventano un unico sistema. Se non è amore questo…

Albert: Aridaje con questo entanglement, che noia! Però un merito a Dirac lo devo riconoscere: si è impegnato non poco per applicare la mia Relatività Ristretta alla Meccanica Quantistica…

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984 Premio Nobel nel 1933)
Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984 Premio Nobel nel 1933)

Niels: …ottenendo risultati di tutto rispetto, per giunta! In fondo è stato lui a capire che il Principio di Indeterminazione di Heisenberg e l’equazione d’onda di Schroedinger, apparentemente tanto diversi, in fondo non sono altro che due facce della stessa medaglia e, di fatto, esprimono lo stesso concetto: la complementarietà tra la natura di onda e particella di luce e materia, nel senso che gli aspetti corpuscolare e ondulatorio di un fenomeno fisico non si manifestano mai simultaneamente e ogni esperimento che permetta di osservare uno, impedisce di osservare l’altro.

Albert: E, zitto zitto, nel 1929 pubblicò “Principi della Meccanica Quantistica”, un testo destinato a rimanere un punto di riferimento assoluto per chiunque decida di approcciarsi alla materia.

 

Niels: Dici bene, Albert, sia per l’importanza del suo testo che per il fatto che se ne stesse zitto zitto… i miei ragazzi coniarono l’unità di misura della loquacità: il Dirac, corrispondente all’emissione di una parola ogni ora!

AH AH AH AH AH AH !!!!!!

Albert: Torniamo seri per un attimo, Niels, guardami negli occhi e dimmi, ti prego: davvero credi che nel microcosmo la realtà venga creata dall’osservatore nel momento in cui osserva? In cuor tuo sei realmente convinto che non esista una realtà oggettiva indipendente da tutto e da tutti? In fondo anche la Luna è composta da particelle, ma rimane al suo posto anche quando non la guardiamo. E se ci capita di non sapere esattamente dov’è in un determinato momento, è solo perché a noi mancano delle informazioni, non certo perché essa non sia in qualche posto in quel momento!

Niels: Mah… cosa vuoi che ti dica, amico mio? Se devo essere sincero, questo aspetto non mi interessa. "Il compito di noi fisici non è penetrare l’essenza delle cose, di cui peraltro non conosciamo il significato, ma sviluppare concetti che ci permettano di parlare in modo fruttuoso dei fenomeni naturali". E in questo, devi ammetterlo, sono stato piuttosto bravo.

Albert: Sei stato il migliore, perbacco! Ma allora, vedi che, tutto sommato, non siamo così in disaccordo come sembra: tu non neghi che una realtà oggettiva possa esistere.

Niels: Certo che non lo nego, ma neanche lo confermo; credo semplicemente che la Fisica Quantistica possa non preoccuparsi di questo.

Albert: Ma è importante, per mille fotoni! Io non ci dormo la notte, come fai a non preoccupartene?

Niels: Diciamo che non vedo il motivo per cui non dormirci la notte, visto che la soluzione individuata dalla mia Scuola funziona molto bene. E non sono certo l’unico a pensarla così.

Albert: Su questo hai ragione… quasi tutti nella Comunità Scientifica la pensano come te ma, per quanto mi riguarda, resto convinto che Dio non giochi a dadi e che, prima o poi, qualcuno lo dimostrerà. Però però… forse qualche eccezione ogni tanto la fa!

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Ciccio: Uao... non ci crederai, Papamicio, ma questa volta ho capito quasi tutto quello che hanno detto... stai a vedere che, a forza di frequentare tutte queste persone intelligenti, lo sto diventando anch'io!

Papamicio: Non c'è alcun dubbio che sia così, caro Ciccetto. E la cosa non mi stupisce affatto: ho sempre saputo che tu ed i tuoi amici avete grandi capacità. Avevate solo bisogno che qualcuno vi desse la possibilità di esprimerle, esattamente come Niels, Albert e altri grandi scienziati della loro generazione hanno fatto nei confronti delle giovani leve. A quei tempi, per fare carriera nell'ambiente accademico e scientifico l'unico requisito necessario era il merito... solo ed esclusivamente tanto M-E-R-I-T-O, le raccomandazioni non si sapeva neanche cosa fossero. Se a questo si aggiunge che gli unici motori per la ricerca erano il libero arbitrio e le intuizioni di queste menti eccezionali (non la necessità di occuparsi di inutili filoni di ricerca "di moda" solo per ottenere fondi), non si fa fatica a comprendere come sia stata possibile quella incredibile stagione rappresentata dal primo trentennio del secolo scorso.

Grazie Albert, grazie Niels, grazie a tutti i vostri colleghi! Senza di voi il mondo oggi non sarebbe lo stesso.

 

Questa barzelletta l'ha inventata Niels Bohr e amava raccontarla spesso, in quanto, oltre ad essere divertente, descrive esattamente i caratteri dei tre: Heisenberg sempre pronto a parlare di probabilità e quantistica, Bohr abituato a dilungarsi troppo sulle sue teorie, ed Einstein che dava sempre l'impressione di trattare l'argomento con leggerezza (cosa che irritava moltissimo Bohr) e "colpiva" con graffio fulmineo.
Questa barzelletta l'ha inventata Niels Bohr e amava raccontarla spesso, in quanto, oltre ad essere divertente, descrive esattamente i caratteri dei tre: Heisenberg sempre pronto a parlare di probabilità e quantistica, Bohr abituato a dilungarsi troppo sulle sue teorie, ed Einstein che dava sempre l'impressione di trattare l'argomento con leggerezza (cosa che irritava moltissimo Bohr) e "colpiva" con graffio fulmineo.

 

Tutti i racconti di Ciccio e Astericcio sono disponibili nella rubrica ad essi dedicata

 

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APPENDICE 1

IL PARADOSSO EPR (1935) e la DISUGUAGLIANZA DI BELL (1964)

Uno dei principi fondamentali della Fisica è il REALISMO LOCALE, ove realismo significa che una misurazione rivela una proprietà preesistente nella realtà fisica e località vuol dire che tra due eventi lontani ci può essere un rapporto di causa-effetto solo essi se sono connessi da una catena causale di eventi che si propaga con una velocità minore o uguale alla velocità della luce.

Convinto sostenitore del Realismo Locale, Einstein si mise al lavoro con i suoi collaboratori Podolsky e Rosen ed elaborò un’argomentazione per dimostrare la non completezza dell’interpretazione standard della Meccanica Quantistica: il cosiddetto PARADOSSO EPR.

L’analisi fatta da EPR riguardava i sistemi di particelle entangled, nei quali, secondo l’interpretazione standard, si manifesta un’azione istantanea a distanza: se il sistema è composto da una coppia di particelle, con una misura fatta su un elemento, si può conoscere il valore di una proprietà dell’altro elemento della coppia senza disturbarlo. Secondo EPR ciò dimostra che ci sono delle proprietà oggettive nell’elemento remoto della coppia, quindi l’interpretazione standard non sarebbe completa in quanto non dà informazioni su queste proprietà oggettive prima di effettuare la misura.

Tuttavia EPR dissero esplicitamente di non essere in grado di dimostrare se una teoria completa potesse esistere o meno. Ritenevano comunque che fosse possibile e indicarono un programma di ricerca, ma la maggior parte dei fisici continuò a seguire il modello standard. Solo pochi si misero alla ricerca della teoria completa indicata da EPR.

Per Bohr questa argomentazione fu devastante: bloccò tutti lavori in corso e impegnò ogni risorsa del suo Istituto per controbatterla. La sua risposta arrivò cinque mesi dopo e sostanzialmente consisteva nella dimostrazione che l’osservatore e la particella entanglata fanno parte di un unico sistema e che, una volta connessi, i sistemi atomici non si districano più, a prescindere da quanto siano distanti.

La risposta di Bohr fu considerata da molti soddisfacente, ma in realtà non lo era. Solo molti anni dopo (nel 1964), quando ormai sia Bohr che Einstein erano passati a miglior vita, John Stewart Bell, proprio mentre stava cercando un’interpretazione deterministica e locale della Meccanica Quantistica (ovvero ciò che avrebbe desiderato Einstein), finì per elaborare la cosiddetta DISUGUAGLIANZA DI BELL che dette il colpo di grazia alle argomentazioni di EPR, dimostrando che le leggi fondamentali della Meccanica Quantistica portano ad una violazione del Realismo Locale.

Bell dimostrò che il valore di una grandezza misurabile (S) da lui individuata sarebbe stato compreso in un preciso intervallo se valutata con una qualsiasi teoria locale. Per contro, la stessa grandezza valutata con l’interpretazione standard assume un preciso valore che, in alcuni casi, non è nell’intervallo definito dalla disuguaglianza di Bell.

La misura di questa grandezza consente di stabilire quale interpretazione non è corretta: se il risultato della misura viola la disuguaglianza di Bell, cioè è fuori dell’intervallo stabilito dalla disuguaglianza, allora una teoria locale comunque congegnata non potrà essere corretta. Viceversa, se il risultato è diverso da quello previsto dalla interpretazione standard, allora sarà quest’ultima a non essere corretta

Diversi esperimenti sono stati fatti a partire dagli anni ‘70. Nella maggior parte dei casi i risultati delle misure hanno violato la disuguaglianza di Bell, spesso anche nettamente. Nonostante questo sono rimaste aperte per molto tempo delle scappatoie per i sostenitori della teoria locale dovuti ai limiti tecnologici della strumentazione. Ma un esperimento condotto nel 2015 presso l’Università di Delft nei Paesi Bassi, sembra aver definitivamente escluso che possa valere il realismo locale nel mondo quantistico.

ParadossoEPR

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APPENDICE 2

Dal CORPO NERO al PRINCIPIO DI ESCLUSIONE di Pauli,

passando per i QUANTI di Planck, l’EFFETTO FOTOELETTRICO di Einstein e l’ATOMO di Bohr

 

IL CORPO NERO (1862)

Teorizzato da Gustav Kirchhoff, è un corpo ideale che assorbe tutta l’energia incidente su di esso senza rifletterla. A temperatura ambiente esso appare perfettamente nero, ma, via via che assorbe energia, la temperatura sale e l’energia viene irradiata. La lunghezza d’onda della radiazione irradiata (quindi il colore assunto dal corpo nero) dipende dalla temperatura: ad ogni temperatura corrisponde un colore diverso. 

La luce emessa da un corpo nero è detta  radiazione del corpo nero. Lo spettro di corpo nero (cioè l’intensità della radiazione emessa ad ogni lunghezza d'onda) è caratteristico di ogni corpo e dipende unicamente dalla sua temperatura. La differenza tra lo spettro di un oggetto (stella, nebulosa, ammasso stellare…), e quello di un corpo nero ideale, permette di individuare la composizione chimica di tale oggetto.

Proprio in questo passaggio LA FISICA CLASSICA SUBISCE UNO SHOCK  poiché, secondo la legge empirica di Rayleigh-Jeans  (fino ad allora usata per descrivere lo spettro del corpo nero), per lunghezze d’onda tendenti a zero (ultravioletto), l’energia emessa dovrebbe tendere a infinito (catastrofe ultravioletta), il che contrasta con l’evidenza empirica.

corpo-nero

 

 

I QUANTI DI PLANCK (1900)

Max Planck (1858-1947 Premio Nobel nel 1918)
Max Planck (1858-1947 Premio Nobel nel 1918)

 

Lo shock si concretizza nell’opera di MAX PLANCK, che riesce ad interpretare correttamente lo spettro di un corpo nero ipotizzando che la radiazione elettromagnetica potesse propagarsi solo in pacchetti discreti (definiti quanti), la cui l’energia è proporzionale alla frequenza dell'onda elettromagnetica.

 

E’ così, quasi per caso, che nel 1900 nasce la MECCANICA QUANTISTICA!

 

Come l’astrofisica moderna nasce nel momento in cui Galileo punta il perspicillo (questo è il nome che aveva dato a quello strumento che solo in seguito altri chiamarono cannocchiale) verso i satelliti di Giove e capisce che gli rivolvono intorno, allo stesso modo questa nuova branca della fisica, destinata a ribaltare il senso comune (oltre al rassicurante determinismo classico) e figlia di un’intera generazione di menti eccezionali che trovano nel Niels Bohr Institute a Copenaghen la loro massima espressione, emette il primo vagito in questo momento. E la cosa stupefacente è che Max Planck non avrebbe mai immaginato di dare il via alla serie di eventi che monopolizzerà il progresso scientifico del successivo trentennio, ma riteneva l’intuizione sui quanti d’energia solo un espediente teorico per riuscire a prevedere l’esito degli esperimenti.

E = hv  

(E=dimensione di un quanto di energia, v=frequenza della radiazione, h=costante di Planck)

Qualcun altro, invece, credette che questa semplice ed apparentemente banale formula racchiudesse un tesoro di realtà fisica. Chi altri poteva essere, se non il “solito” ALBERT EINSTEIN, che la fece propria e la utilizzò, cinque anni dopo, per dimostrare il suo…

 

L’ EFFETTO FOTOELETTRICO (1905)

Nel 1887 Heinrich Rudolph Hertz notò che dischi di metallo caricati negativamente perdevano la loro carica se investiti da luce ultravioletta: ciò poteva, in teoria, essere l’effetto di cariche positive che annullavano cariche negative, ma anche – e questa si è poi rivelata l’ipotesi corretta – da cariche negative che abbandonavano il disco: infatti le cariche negative sono quelle degli elettroni, scoperti da Thomson nel 1897, che vengono emessi dal metallo investito da un raggio di luce.

Tutto a posto, allora? Neanche per sogno! A quei tempi la luce era conosciuta solo dal punto di vista ondulatorio e tale natura non consentiva di spiegare l’emissione degli elettroni che si osservava sperimentalmente.

Fortuna che Planck ipotizzò i quanti di energia e che Einstein, scommettendo sulla realtà fisica di tale ipotesi, provò ad applicare la sua formula per spiegare l’effetto fotoelettrico… et voilà!

Se un quanto di luce urta un elettrone, può cedere a questo una quantità di energia E data dalla formula di Planck. Di tale energia, una quantità almeno pari a W (=lavoro) verrà spesa dalla particella per sottrarsi al legame del metallo, il resto sarà da essa trasportato sotto forma di energia cinetica residua, che indicheremo con K:

K = hv - w

Queste le sue parole: "Secondo l'ipotesi che voglio qui proporre, quando un raggio di luce si espande partendo da un punto, l'energia non si distribuisce su volumi sempre più grandi, bensì rimane costituita da un numero finito di quanti di energia localizzati nello spazio, che si muovono senza suddividersi e che non possono essere assorbiti o emessi parzialmente ……….  Partendo dal principio che la luce eccitatrice è costituita di quanti di energia hν, l'emissione di elettroni si può spiegare nel seguente modo: i quanti di energia penetrano nello strato superficiale del corpo e la loro energia si trasforma, almeno in parte, in energia cinetica di elettroni...  "

Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie (1892-1987 Premio Nobel nel 1929)
Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie (1892-1987 Premio Nobel nel 1929)

In seguito ai quanti di energia venne dato il nome di FOTONI.

In tal modo Einstein dimostrò che la luce, oltre a comportarsi come un’onda, ha anche natura di particella.

Quasi vent’anni dopo, nel 1924, nella sua tesi di dottorato, Louis de Broglie ipotizzò (e poco dopo arrivò la conferma sperimentale) che gli elettroni, oltre a comportarsi come particelle, hanno anche natura di onda.

 

Così si chiude il cerchio: luce e materia, materia e luce… anche nella loro duplice speculare natura di onda e corpuscolo si manifesta la semplice e armonica simmetria delle leggi che regolano l’Universo.

Ma facciamo un passo indietro…

 

 

 

L’ATOMO DI BOHR (1913)

Pochissimi anni dopo la sua teorizzazione, le evidenze sperimentali sugli spettri di emissione e assorbimento dell’idrogeno palesarono i limiti del modello atomico di Rutherford, il cosiddetto modello planetario elaborato nel 1909, secondo il quale gli elettroni si muovevano intorno al nucleo come i pianeti intorno al Sole. Un atomo così costituito, infatti, avrebbe dovuto in breve tempo perdere stabilità e collassare sul nucleo.

Fu Niels Bohr ad elaborare, con quella che è conosciuta come la sua trilogia, un modello atomico in grado di spiegare lo spettro dell’idrogeno, l’elemento più semplice, nel cui atomo è presente un solo elettrone.

Secondo questo modello, l’elettrone non emette radiazioni finché si muove lungo le orbite corrispondenti allo “stato fondamentale”. Nel momento in cui assorbe energia, esso effettua un salto quantico, ovvero transita ad un’orbita di energia quantizzata superiore (stato eccitato). Dopo un tempo brevissimo (10-9 s) l’elettrone torna al suo stato energetico fondamentale, emettendo energia sotto forma di un fotone. Inoltre l’elettrone non può trovarsi ovunque intorno al nucleo, ma deve percorrere solo determinate orbite con determinati valori del momento angolare (quantizzazione del raggio dell’orbita e del momento della quantità di moto).

atomo-bohr

atomo-bohr2

 

Tutto ciò costituisce le fondamenta della Fisica Quantistica, ma, per potervi costruire sopra un intero e solido palazzo, Bohr ha bisogno di strumenti più sofisticati, il più importante dei quali arriverà ad opera di uno dei suoi pupilli, che intuirà…

QUI trovate una spiegazione approfondita del corpo nero, dei quanti di Planck e dell'evoluzione della teoria atomica (e molto altro...)

 

IL PRINCIPIO DI ESCLUSIONE (di Wolfgang PAULI - 1925)

Formulato per spiegare alcune caratteristiche degli spettri atomici, il Principio di Esclusione permette di comprendere la disposizione degli elettroni sui vari livelli energetici dell'atomo: partendo dal presupposto che lo stato di un elettrone all'interno di un atomo è caratterizzato da quattro numeri detti "quantici", esso afferma che in un atomo non possono esistere due elettroni con la stessa quaterna di numeri quantici.

Di conseguenza, su ciascun livello energetico di un atomo possono stare al massimo due elettroni, gli altri dovranno “accomodarsi” nel livelli superiori anche se l’atomo non è eccitato. Ciò spiega il comportamento degli atomi con più di un elettrone e Niels Bohr ne fece tesoro per estendere e perfezionare la sua teoria atomica.

Se non esistesse questo principio, lo stato fondamentale di tutti gli atomi vedrebbe tutti gli elettroni nell’orbitale più interno, quindi sarebbero incapaci di interagire, non si formerebbero molecole e il mondo fisico sarebbe completamente diverso da come lo conosciamo.

 

 

 

 

3 commenti

  1. un lavoro meraviglioso... grazie Dany! Quando ci vuole... ci vuole :-P

    Rendere umani i "monumenti" della Scienza è opera meritoria e molto istruttiva per tanti giovani rampanti di oggi...

  2. Maurizio Bernardi

    e magari anche di ieri....

    Brava Dany, un gran lavoro per un gran risultato. Grazie anche da Oreste e Harley

  3. Daniela

    Personalmente sono convinta che "l'umanizzazione" dei mostri sacri sarebbe importante anche nelle scuole e basterebbe poco per realizzarla: tre minuti all'inizio di ogni lezione per raccontare qualche aneddoto/curiosità su ognuno di loro o la citazione di qualche frase significativa (ce ne sono anche molte divertenti), forse predisporrebbe i ragazzi all'ascolto e li avvicinerebbe alle materie scientifiche.

    La serie di Astericcio dedicata alla storia della Scienza va in questa direzione ed è solo una goccia infinitesima nell'oceano della conoscenza... per quanto poco possa rappresentare, questa goccia prima non c'era e ora c'è.

    Ora non resta che cominciare a costruire la prossima goccia... andiamo avanti!

    :-D

     

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