QUIZ: perché Plutone ha cinque satelliti e Mercurio nessuno? **
La domanda può avere molte risposte. Dato che vorrei, prima o poi, introdurre una certa problematica, vi prego di limitarvi a una risposta puramente dinamica. Le formule sono del tutto facoltative: basta il concetto di base...
22 commenti
... più televisioni?
ho detto "puramente dinamica" non commerciale! Grrrrrr
Qualcosa che riguarda le risonanze orbitali?
Posso provare? Mi vengono in mente due idee (puramente intuitive).
1. Il Sole, durante le sue prime fasi turbolente potrebbe avere spazzato via il materiale necessario alla costruzione di satelliti (e anche all'ulteriore accrescimento di Mercurio).
2. La vicinanza di un così grande attrattore rende meno probabile la cattura di un potenziale satellite, che sarebbe risucchiato o catapultato lontano prima di raggiungere un'orbita stabile.
Non posso argomentare in modo rigoroso nessuna delle due ipotesi, quindi è probabile che sia fuori strada!
Se ho ben capito l'idea di Enzo, si tratta di riferirsi all'epoca attuale immaginando di posizionare, con una manona gigantesca, un oggetto di massa trascurabile in orbita intorno a Mercurio.
Ho dunque ragionato così.
Immagino l’ipotetico satellite di Mercurio transitare in un punto posto sulla congiungente Sole-Mercurio, diciamo in corrispondenza del perielio.
Pongo la condizione di equilibrio del punto lagrangiano L1; in questo punto il satellite si trova nella condizione limite, un pochino più in là e … addio satellite!
G*Ms*μ/Rs^2 = G*Mm*μ/Rm^2 + μ*V^2/Rs (1)
dove:
- Ms è la massa del Sole
- Mm è la massa di Mercurio
- μ è la massa del satellite
- X=Rm è la distanza del satellite dal centro di Mercurio
- Y=Rs è la distanza del satellite dal centro del Sole
- V è la velocità del satellite in L1.
Immagino, per semplicità, che il satellite compia un’orbita circolare intorno a Mercurio. So che la velocità deve valere: V = √(G*Mm/Rm).
Sostituisco questo valore nella formula (1). In pratica sto cercando la posizione di un punto di equilibrio in cui il satellite possa ruotare intorno a Mercurio senza essere ingoiato dal Sole.
Ottengo, una volta introdotti i valori numerici:
13,4*10^19/y^2 = 22,1*10^12/x^2 + 22,1*10^12/(x*y)
Ponendo R = x/y, si ha:
13,4*10^7*R^2 - 22,1*R - 22,1 = 0
Risolvo l’equazione di 2° grado (scartando la soluzione negativa):
R ≈ 0,0004
Essendo x + y = 46.000 km (al perielio), ottengo:
x = Rm ≈ 18 km.
Il raggio di Mercurio è pari a circa 2.400 km quindi il punto in questione si troverebbe ben all’interno del pianeta (sperando di non aver sbagliato qualche calcolo
).
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Per quanto riguarda Plutone, beh, laggiù l’influenza del Sole è molto minore ed è più facile l’esistenza di satelliti anche nel caso di pianeti di massa molto piccola.
mmmmmhhhh, bastonate in arrivo?!?!
Perchè Mercurio è vicinissimo al Sole e l'influenza di quest'ultimo ha impedito al pianeta di trattenere una luna.
Oooops, mi sono scappati 3 zeri!
x+y = 46.000.000 km ovviamente!
Dunque X = 18.000 km.
Bene, la cosa sembra analiticamente possibile. Devo cercare un'altra strada.
Beh un primo risultato lo abbiamo ottenuto.
La zona di "ipotetica esistenza" del satellite è delimitata da un raggio massimo di 18.000 km dal centro di Mercurio.
sshhhrrr ... ssshhhrrr ...
Eh si, mi sto arrampicando sugli specchi per trovare una qualche strada analitica. Non mi va di ripetere la questione, sicuramente vera e correttamente riportata da Gioy, che la grande massa del vicinissimo Sole ha impedito la formazione di un satellite.
Intanto ho subito escluso un satellite di discrete dimensioni, così non parliamo di forze di marea disgreganti.
Escludo gli effetti dovuti alla pressione di radiazione ed affini, probabilmente significativi nel caso di un oggetto delle dimensioni di un sasso.
Escludo gli effetti relativistici, cioè la precessione del perielio di Mercurio che potrebbe destabilizzare l'orbita del satellite.
Per contro, ammetto che in qualche modo nel proto-sistema solare un oggettino tipo asteroidino carino carino sia riuscito a costituirsi legandosi a Mercurio.
La questione è: un oggetto siffatto potrebbe orbitare stabilmente intorno a Mercurio?
Penso di no, ma devo fornire una spiegazione analitica .... non mi piacciono le chiacchiere in libertà.
Aiuuuuuuutoooooooo ......!!!
Quasi senza accorgermene mi sono infognato nelle sabbie mobili del problema dei tre corpi.
E fosse almeno il caso semplificato in cui uno dei tre è molto distante dagli altri due. Eh no, qui ne abbiamo uno piccolo ma molto vicino ed un altro più distante ma molto massivo: temo serva un mega-computer!
Cavolo Enzo, ma che vai cercando? Come si fa a rispondere in modo analitico? Non so che pesci pigliare ....
non voglio formule... (a quelle spero di poterci pensare poi io). Mi basterebbe un ... "nome"... ma bastano anche concetti vaghi o quasi. Direi che ci siamo quasi...
eh sì... il problema dei tre corpi ci vuole, ma con tante semplificazioni... e nessuno ha chiesto una trattazione analitica...
A mio avviso si sommano più cause.
Sicuramente, data la vicinanza di Mercurio al Sole, un ipotetico satellite vagante sarebbe più facilmente attratto dal Sole...... una traiettoria iniziale troppo centrata su Mercurio rischierebbe di farlo collidere...
Inoltre la distanza tra Mercurio e Sole varia, per cui il punto di equilibrio gravitazionale tra i due cambia di conseguenza.
Infine, penso che un ruolo venga giocato dal vento solare, che tende a “spazzare” via ciò che non ha sufficiente massa (come l'atmosfera di un pianeta con debole campo magnetico..-vedi Marte- ..... o un piccolo satellite (?))... e Mercurio è il pianeta più vicino al sole e la sua Massa a confronto è ridicola (Ms/Mm= 2 (10)^30/ 3,3 (10) 23 = 6.060.606).
Paolo
Dimenticavo, per formarsi un satellite dovrebbe esserci sufficiente materiale in zona, ma essendo così "vicino" al Sole, il suo vento tende a dispèrdere il materiale necessario.
Paolo
C'entra forse il punto Lagrangiano?
Dato che i corpi in questione sono tre, per definizione il punto lagrangiano è quella posizione nello spazio in cui uno dei tre corpi in gioco ha una massa molto inferiore agli altri due, in cui le forze che agiscono sull'oggetto minore si bilanciano, creando una situazione di equilibrio.
Forse Mercurio è troppo piccolo e vicino al Sole, il Sole invece è troppo grande per riuscire a creare il suddetto punto d'equilibrio?
sì, sì, cari amici...
più o meno ci girate intorno e dite cose essenzialmente vere. Ho usato la domanda solo per introdurre alcuni concetti che sembrano dire la stessa cosa, ma che hanno un'origine e uno scopo leggermente diversi.
E' giusto parlare di problema dei tre corpi (puramente dinamico), di lobo di Roche (puramente fisico) e, infine, del concetto che più si adatta al nostro scopo: la sfera di Hill!
Sembrerebbe praticamente coincidere con il lobo di Roche e con i punti L1 e L2, ma è la sua definizione e la sua applicazione che ne creano una certa differenza.
Non penso oggi, dato che tra un paio d'ore dovrò andare a Cuneo per una delle solite visite..., ma certamente nei giorni a venire scriverò un articolo dedicato proprio a questi concetti così simili e così diversi. Uno deriva da una soluzione del problema dei tre corpi, l'altro dallo studio energetico e l'altro, ancora, dai limiti di tipo dinamico...
Per adesso, ricordiamo solo che la sfera di Hill definisce quella zona di spazio in cui un terzo corpo, posto vicino all'oggetto di massa minore di una coppia, riesce a rivolvere attorno a quest'ultimo senza essere perturbato da quello di massa maggiore. La formula che lo definisce è funzione delle masse, ma soprattutto della distanza dal corpo maggiore.
Ne segue che Mercurio è troppo vicino al sole per avere una sfera di Hill capace di contenere eventuali satelliti. In realtà potrebbe, ma (se uniamo anche le cause fisiche) la probabilità è decisamente troppo bassa rispetto a Plutone che ha una sfera di Hill decisamente più grande, malgrado la sua massa sia minore.
La sfera di Hill ci permette anche di calcolare a quale distanza da un satellite artificiale (Stazione Spaziale, ad esempio) un astronauta può spingersi per rimanere in orbita attorno a lei senza essere trascinato via. Spesso, per corpi molto vicini alle masse in gioco, la sfera di Hill è contenuta all'interno dello stesso corpo e quindi i satelliti sono impossibili!
Insomma, ci divertiremo, usando qualche formula un po complicata che dovremo risolvere senza poter spiegare tutto nei dettagli. Sembrano cose semplici, ma provate voi a risolvere un'equazione di quinto grado...
A presto...
Bene bene, il menu è davvero invitante.
Volevo chiederti, in anteprima, se la conclusione che ho tratto basandomi sulle sole condizioni di equilibrio dinamico ha un senso. Se cioè è vero che il satellite potrebbe teoricamente esistere solo entro una circonferenza di 18.000 km di raggio massimo intorno al pianeta. Aggiungendo alle mie considerazioni la sfera di Hill la circonferenza si restringerebbe ulteriormente.
Nelle mie considerazioni ho fatto l'ipotesi di un'orbita circolare che in realtà non può essere mantenuta. Immaginiamo il satellite orbitare intorno a Mercurio ad una distanza inferiore a 18.000 km dal centro del pianeta.
Nel punto di massima vicinanza al Sole il satellite deve avere una velocità di rivoluzione che bilanci l'attrazione solare: è come se Mercurio "pesasse" di meno e la velocità sarebbe più bassa che se il Sole non ci fosse.
D'altra parte, mezza rivoluzione dopo, il satellite si troverebbe alla massima distanza dal Sole, la cui attrazione gravitazionale si sommerebbe a quella di Mercurio: il pianeta "peserebbe" maggiormente e la velocità di rivoluzione aumenterebbe.
In pratica dovremmo ottenere un'ellisse con il PERI-Mercurio (come cavolo si chiama
) dal lato opposto al Sole e l'APO-Mercurio ( 
) dalla parte del Sole.
E' corretto Enzo (sempre non considerando la sfera di Hill)?
Cavolo Enzo, vedi cosa significa non riguardare vecchi argomenti messi un pò in disparte?
Mi sono reso conto solo ora che la mia impostazione (semprechè sia corretta) definisce proprio il raggio della sfera di Hill che pensavo di aver tralasciato!!
Se mi dai l'OK vorrei calcolare il raggio di un pianeta avente stessa densità e stessa distanza dal Sole di Mercurio, nella condizione in cui detto raggio eguagli quello della sfera di Hill.
O vuoi farlo tu?
... sfera di Hill, lobo di Roche, orizzonte degli eventi, distanza di Planck, cono di luce ... ma perchè ho scelto proprio l'astronomia e non il ... giardinaggio?!?!
vai pure avanti Alvy. Anzi, senza andare a spulciare nel web, prova a determinare la formula generale che dà il raggio della sfera di Hill, magari anche con orbita ellittica...
Riprendo i simboli di prima ponendo:
- Ms è la massa del Sole
- Mm è la massa di Mercurio
- μ è la massa del satellite
- X=Rm è la distanza del satellite dal centro di Mercurio
- Y=Rs è la distanza del satellite dal centro del Sole
- V è la velocità del satellite in L1.
Scrivo nuovamente la formula di bilanciamento del campo gravitazionale solare con quello di Mercurio e con la forza centrifuga avvertita dal satellite:
G*Ms*μ/Rs^2 = G*Mm*μ/Rm^2 + μ*V^2/Rs (1)
Nel punto L1 (in cui considero il satellite) la velocità V del satellite deve essere quella che bilancia, insieme all’attrazione di Mercurio, il campo gravitazionale del Sole.
Assumo che detta velocità sia quella istantanea (orbita ellittica) di rotazione intorno al Sole: per tale assunzione ho immaginato di trasferire parte della massa solare, pari alla massa di Mercurio, a distanza Rm dal satellite, ma dalla parte opposta di Mercurio; in questo modo ho eliminato l’influenza gravitazionale del pianeta conservando intatta quella del Sole.
Ricavo V dalla formula (1):
V = √[G*(Ms*Rm^2-Mm*Rs^2)/(Rs*Rm^2)] (2)
A questo punto, contravvenendo alla proibizione di Enzo, sono andato a spulciare nel web per riesumare la formula che fornisce la velocità di un corpo celeste in orbita ellittica (consentito?):
V = √[2*G*Ms*(1/Rm-1/2a)] (3)
dove a rappresenta il semiasse maggiore dell’ellisse.
Magheggiando un po’ con le formule (2) e (3) ricavo il valore di a:
a = (Rs*Rm^2)/(M*Rs^2+2*Rs*Rm-Rm^2)
essendo M = Mm/Ms.
Si può trascurare, rispetto agli altri, il termine Rm^2 e si ottiene la formula finale:
a = (Rm^2)/(M*Rs+2*Rm) (4)
che rappresenta il "raggio" dell'ellisse.
L’ho applicata al nostro sistema ed ho trovato che:
2a ≈ 15.000 km.
La formula (4) ha una forma piuttosto simpatica (che sia giusta?
) ed il valore ottenuto presenta lo stesso ordine di grandezza di quello che avevo ottenuto con l’assunzione (erronea) dell’orbita circolare.
Mah ... attendo lumi
In analogia a quanto assunto nella formula 1 (velocità V di rivoluzione intorno al Sole) , nella formula (3) ho posto la massa che ivi compare, pari a quella del Sole anche se il satellite ruota intorno a Mercurio.
E' corretto?
abbi pazienza... ma vedo troppi raggi! Rs è quello dell'orbita del pianeta, Rm è l'orbita del satellite e "a" che cos'è? Sarebbe molto meglio usare solo il raggio dell'orbita del pianeta attorno al Sole e il raggio dell'orbita del satellite attorno al pianeta... Sono più che sufficienti.
ti ricordo, comunque, di non confondere punto lagrangiano (e lobo di roche) con la sfera di Hill. In L1 un oggetto non orbita attorno al pianeta, ma rivolve insieme a lui intorno al Sole in una posizione fissa. Il lobo contiene tutto ciò che subisce la gravità del solo pianeta, ma non è detto che gli orbiti attorno.
Insomma, non semplifichiamo troppo...
Posso ancora dirti, per non farti soffrire troppo, che non è possibile risolvere la faccenda senza fare approssimazioni. Altrimenti, bisogna sviluppare completamente il problema dei tre corpi e tutte le sue conseguenze... E, inoltre, è già abbastanza complicato considerare le orbite circolari. Prova, almeno, con questa ulteriore semplificazione...
In ogni modo, qualcosa di giusto lo hai detto sicuramente
Perchè fa troppo caldo là!!!