16/10/21

La lacuna di Euclide & co. **/*****

Un fantastico teorema che, quasi inspiegabilmente, gli antichi greci non avevano enunciato. Le conclusioni sono moto semplici (due asterischi), ma la sua dimostrazione abbisogna di parecchia fantasia e ragionamento (cinque asterischi). Descriviamo il teorema e lasciamo qualche giorno ai più "bravi" per tentare la dimostrazione. Ma bisogna proprio essere bravi!

Un argomento estremamente interessante in quanto mette allo scoperto una "lacuna" nella geometria euclidea. Parliamo di una vera magia che ha dovuto aspettare secoli prima di essere "eseguita".

Quando si parla di geometria euclidea ci si riferisce allo strabiliante lavoro di Euclide e di molti altri che lo seguirono. Gli antichi greci hanno veramente "scandagliato" e risolto tutti i problemi puramente geometrici? Così sembrava... ma alcuni secoli dopo (non dico quanti per non fornire aiuti supplementari) ecco accadere un vero e proprio "miracolo": di punto e in bianco, fa la sua comparsa un teorema riguardante i triangoli che nessuno aveva mai enunciato. Eppure si tratta di geometria elementare...

Molto probabilmente, tutto dipende dall'argomento che tratta, ossia la trisezione di un angolo. Sappiamo quanto gli antichi (e non solo) si siano battuti per riuscire a risolverlo con il solo compasso e riga non graduata. Operazione questa che non poteva portare ad alcun risultato positivo. Ostinandosi in tal senso era, però, sfuggita una proprietà meravigliosa legata alla trisezione degli angoli di un triangolo qualsiasi. Un miracolo o una magia (come preferite) che porta, a cascata, una serie di ulteriori proprietà.

Eccovi l'enunciato del teorema:

Consideriamo un triangolo qualsiasi e tracciamo le trisettrici dei tre angoli interni. I punti di intersezione delle coppie di trisettrici degli angoli adiacenti allo stesso lato sono i vertici di un triangolo equilatero.

La Fig. 1 illustra chiaramente la semplice enunciazione.

Figura 1

Il triangolo ABC è un triangolo qualsiasi, ma il triangolo GEF è SEMPRE un triangolo equilatero.

La faccenda diventa ancora più intrigante, quando si considerano anche le trisettrici degli angoli esterni al triangolo e si trovano le intersezioni tra di loro e con quelle interne. Facciamo qualche esempio...

In Fig. 2 abbiamo chiamato 3α', 3β', 3γ' gli angoli esterni e abbiamo considerato i punti intersezione delle coppie delle loro trisettrici . Agendo in tal modo otteniamo il triangolo HKL, che risulta anch'esso equilatero.

Figura 2

Si può fare di più e considerare le intersezioni tra trisettrici esterne e trisettrici interne, come mostra la Fig. 3. Si ottiene nuovamente un triangolo equilatero PQH.

Figura 3

Per non creare troppa confusione, in figura è stato costruito solo un triangolo relativo a un lato del triangolo di partenza ABC, ma il procedimento può essere ripetuto per gli altri due lati e si ottengono i triangoli di Fig. 4.

Figura 4

In realtà, si può andare avanti e costruire ben 18 triangoli tutti equilateri, come mostra la Fig. 5. Una vera e propria magia che si fa fatica a non accostare a Euclide e alle scuole della Grecia antica. Eppure loro non se ne erano accorti...

Figura 5

La dimostrazione del teorema *****, enunciato all'inizio (relativo al solo triangolo interno), non è semplice ed è stata ottenuta in molti modi, sia trigonometricamente che analiticamente, algebricamente e con i numeri complessi. Tuttavia, si può anche raggiungere lo scopo utilizzando un metodo alla "greca", basato solo su regole veramente banali, che riporto qui di seguito:

  1. La somma degli angoli interni di un triangolo vale 180°.
  2. Due triangoli che abbiano due angoli uguali sono simili
  3. Due triangoli che abbiano due angoli e il lato tra loro compreso uguali sono uguali

I più bravi possono anche provare e chissà mai che non scoprano un procedimento ancora più semplice di quelli già pubblicati...  Per questo motivo, nascondo la soluzione che è  altrettanto geniale. Vi lascio qualche giorno per pensare e tentare e poi la svelerò pubblicamente, rivelando anche il nome del teorema. Buona fortuna ai più volenterosi, ribadendo che l'operazione è piuttosto ardua  e abbisogna di regole semplicissime, ma anche di une serie di ragionamenti raffinati e profondi.

DIMOSTRAZIONE GEOMETRICA

 

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