8/02/15

QUIZ: un naufragio non… quantistico **

Una barca si è rovesciata a poca distanza dalla riva (noi non vogliamo tragedie a tutti i costi!) e il naufrago A deve raggiungere il punto C, dove lo aspetta una bella bevanda calda e un morbido accappatoio. A è un noto matematico che sa fare calcoli a mente e che mantiene freddezza anche nei momenti più difficili. Stabilisce con buona esattezza la sua distanza dalla riva e la distanza del luogo di ristoro. La situazione è quella raffigurata nella Figura che segue.

naufrago

I dati in suo (e nostro) possesso sono i seguenti:

La distanza tra A e la spiaggia è di 600 m. La distanza tra B e C è di 800 m. Il naufrago nuota alla velocità di 1 m/s, mentre corre sulla spiaggia alla velocità di 2 m/sec.  Le domande sono molto semplici: “Qual è il percorso che deve fare per raggiungere nel minor tempo possibile il punto C e quanto tempo impiega?

Chi ha voglia, può andare anche oltre alla risposta e descrivere le varie possibilità in modo grafico…

19 commenti

  1. avevo promesso ad Alvy un problemino un po' più "faticoso", ma vedendo la difficoltà di risposta di quasi tutti i lettori rimango ancora sul ... semplice...
    A lungo andare spero che scatti la molla per capire come si devono impostare i problemi di fisica elementare... Un passetto alla volta... :wink:

    Anche se continuo a dare le soluzioni, invito coloro che arrivano ai quiz in ritardo (sfruttando, finalmente, il tempo libero che sono riusciti a ritagliarsi) di provare a pensarci da soli e rispondere senza guardare le soluzioni... Basta cercare QUIZ e li troveranno subito tutti... :-P

  2. Alvermag

    buuuuuuuuuuuuuuuuuuu!!! , abbasso Enzone!

    Se non lo risolvo , sai che figura ... ih ih ih :roll:

  3. beppe

    Mi ricorda un po' la rifrazione :mrgreen:

  4. caro Beppe,
    come dico nell'articolo Feynman ha proprio usato un evento simile per affrontarla quantisticamente... E' sempre una questione di minor tempo possibile...

  5. Silvano

    coi parametri scelti il tempo e' lo stesso per ogni percorso

    ciao e continua cosi
    Silvano

  6. beppe

    Caro Silvano, Vi sono condizioni in cui il tempo è inferiore a 1000 s, e naturalmente vi è un minimo...

  7. mi spiace Silvano... il tempo cambia -e come- in relazione al percorso...
    per il resto GRAZIE!!!

  8. Alvermag

    Mah, se ho ben capito il problema, ho l'impressione che gli servirebbe un buon fuoribordo.

    A Genova, non lontano da casa tua, ne vendono di ottimi.

  9. Davide

    Definiti d1 e d2 rispettivamente i percorsi da percorrere in acqua e a piedi e appha l'angolo tra la traiettoria percorsa e quella perpendicolare alla costa:

    d1=600/cos(alpha)
    d2=800-600tg(alpha)

    perciò i tempi necessari a percorrere i due tratti sono:

    t1= d1/v1 e
    t2= d2/v2

    Per trovare l'agolo tale che t sia minore, si calcola la derivata della funzione t (alpha) e si impone pari a zero:

    t(alpha)= t1+t2= 6/cos(alpha)+4-3tg(alpha)
    t'(alpha)=(1/cos2(alpha))(2sen(alpha)-1)=0
    da cui 2sen(alpha)=1 -----> alpha=30°

    Il tragitto più velocce è perciò percorrere a nuoto una traiettoria a 30° rispetto la linea AB e il tempo totale impigato sarà:

    d1(30°)=600/cos(30°)=692.82
    d2(30°)=800-600tg(30°)= 453.59

    t=d1/v1+d2/v2= 919.61 secondi

    spero che sia chiaro, oltre che giusto!

    :)

  10. Alvermag

    Scusate, ma che vuol dire corre? O nuota o corre!

    Ho l'impressione di non aver capito la faccenda.

    Ho pensato alla corrente che viaggia a 2m/s verso destra ed al naufrago che nuota con velocità unitaria in una direzione da definire per raggiungere il punto C che "gli va incontro" per via del moto di trascinamento dell'acqua.

    Mi sa che stiamo parlando di due cose diverse.

  11. caro Alvy,
    innanzitutto si vede che non hai letto la QED... inoltre mi sembra che il problema sia abbastanza chiaro: il naufrago può sia nuotare che correre sulla spiaggia. Deve combinare una parte di nuoto e una parte di corsa per raggiungere il ristoro. Voglio solo sapere qual'è il percorso che deve fare per impiegare il minor tempo possibile.
    Ah... dimenticavo... il percorso avviene in un mondo piatto!!!! :mrgreen: :mrgreen:

  12. caro davide,
    ovviamente, per adesso, non dico niente... :roll:

  13. Alvermag

    Ma perchè, Feynman era un campione di nuoto?

    Caro il mio Enzo, il mitico libro di Mr Feynman l'ho letto una vita fa!
    E' vero che è passato qualche anno ... e forse mi sono un pò rinco ...

    ... e poi scusa, ma se può correre sulla spiaggia non mi pare che corra il rischio di rimetterci la pelle. No no no, il problema è posto in modo subdolo ...

    Con te non ci gioco più, brutto cattivo :evil: :twisted:

  14. caro Alvy... linguaccia!!!! il problema è posto BENISSIMO. Sei tu che sei ammaliato solo da spazitempi piatti e contorti... Pensiamo un po' anche ai naufraghi... Avrà le forze per percorrere il tratto di mare e magari andare anche di corsa???? Dovrà fare tutto nel disinteresse completo di Alvy... che mondo!!!! :(

  15. Alvermag

    Indico con α l’angolo al vertice superiore del triangolo che ha per ipotenusa la velocità VA.

    Chiamo T1 il tempo impiegato a nuoto per raggiungere la riva:
    T1 = 600/(1*cosα)

    Chiamo T2 il tratto da percorrere sulla spiaggia:
    T2 = (800 – 600*tgα)/2

    Il tempo totale sarà T = T1+T2:
    T = 600/(1*cosα) + (800 – 600*tgα)/2

    Dovendo calcolare il valore minimo del tempo uguaglierò a 0 la derivata del tempo in funzione dell’angolo α: otterrò così il valore di α per il quale il tempo assume il valore cercato.

    dT/dα = 600*sinα/cos^2α – 300/cos^2α

    la derivata prima si annulla per: sinα=0,5
    ovvero: α=arcsin0,5 = 30°

    Ora:
    T1 (a nuoto) = 692,8 s
    T2 (correndo) = 226,8 s
    T = T1 + T2 = 919,6 s

    La distanza percorsa è:
    X1 (a nuoto) = 600/cosα = 692,8 m
    X2 (correndo) = 800 – 600*tgα = 346,4 m

    X = x1 + X2 = 1.039,2 m

    --------------------------------------------------------------------------------
    Adesso scrivo la reale soluzione del problema, quella cioè che prevede il fiume trasportare il naufrago verso C con velocità pari a 2 m/s.
    Se nuotasse in senso ortogonale alla spiaggia il naufrago raggiungerebbe, dopo 600 s, la posizione B’.
    Siccome la corrente trascina il nuotatore verso C con velocità pari a 2 m/s (rispetto al riferimento fisso della spiaggia), si ottiene che l’approdo avviene in un punto sito 400 m a valle di C. Infatti il punto C si sposta, in 600 s, verso sinistra di 1.200 m.
    Allora il naufrago deve nuotare controcorrente (cioè verso sinistra) secondo una traiettoria obliqua.
    Il vettore velocità del naufrago (VA =1 m/s rispetto all’acqua) può essere scomposto nei due vettori VxA e VyA, con asse delle x parallelo al fiume e direzione positiva verso destra.
    Ragioniamo ora rispetto al riferimento fisso costituito dalla spiaggia:
    2–VxA = 800/t
    Ma è anche: t=600/VyA
    Inoltre: VxA^2 + VyA^2 = VA^2 = 1 m/s

    In definitiva:
    (2-VxA)/800 = VyA/600 , da cui:
    VxA = 2 – (4/3)*VyA
    (1 – VyA^2)^0,5 = 2 - (4/3)*VyA

    ovvero:
    25*VyA^2 – 48*VyA + 27 = 0

    Le soluzioni sono immaginarie (come il tempo di Minkowski)!

    La soluzione reale è questa perchè solo in questo caso possiamo parlare di un vero naufrago che rischi la pelle, altrimenti avremmo un finto naufrago come accadde a Robert de la Grive:" ... eppure m'inorgoglisco della mia umiliazione, e poichè a tal privilegio son condannato, quasi godo di un'aborrita salvezza: sono, credo, a memoria d'uomo, l'unico essere della nostra specie ad aver fatto naufragio su di una nave deserta".

  16. Alvermag

    ... naturalmente l'azzeramento della derivata prima può consegnarci un minimo ma anche un massimo relativo.
    In questo caso non ci sono dubbi, ma in generale si dovrebbe studiare la funzione
    T = 600/(1*cosα) + (800 – 600*tgα)/2 per verificare se è crescemte o decrescente negli intervalli che precedono e seguono il punto di annullamento della derivata prima.

    Nel caso specifico, in modo un pò casereccio, si può calcolare il valore della funzione subito prima (α=29°) e subito dopo (α=31°) il punto di annullamento (α=30°).

    Si ottiene:
    T(29°) = 919,71 s
    T(31°) = 919,72 s
    entrambi maggiori di T(30°).

    ... eh si, è proprio un minimo relativo.

    Contento Enzone? O non sono stato abbastanza elegante? :wink:

    A proposito: Davide, che mi ha preceduto, ha tratto le mie stesse conclusioni, quindi ... deve avere ragione! :mrgreen:

  17. quante parole per partorire un ... topolino. Mi bastava una minima rappresentazione grafica senza correnti o balle del genere... :roll: Se studio di funzione deve essere che studio sia, con derivata seconda e valori ai limiti del campo di esistenza.
    Insomma, qualcosa di veramente... ELEGANTE!!!! E' proprio l'ora di picchiare duro contro questi "trolls" (si dice così????? :roll: ). Va beh... perdonato ancora una volta.... :(

    I numeri immaginari rimarranno tali per ancora molto tempo... per vari motivi. Non abbiamo ancora finito la matematica e introdurre i numeri complessi e cose del genere è sicuramente fuorviante. Per accontentarne uno ne scontenterei tanti altri. Inoltre, ricordo a "qualcuno" che quel segno meno nel tempo può essere introdotto anche senza il magico numero "i". Anzi, è ormai considerata una trattazione "obsoleta" e non più seguita. L'invariante rimane tale e lo useremo, ma con le dovute semplificazioni...
    Infine, voglio descrivere la relatività ristretta e lo spazio di Minkowski in modo che sia comprensibile a tutti, anche a quelli con basi matematiche non superiori.

    Inoltre, checché "qualcuno" continui a batterci sopra, lo spazio di Minkowski rimane uno spazio PIATTO (non confondiamo curvatura di una linea con curvatura dello spazio). E' così piatto che può anche essere usato nella relatività generale, dove non vi siano masse particolarmente significative tali da rendere insostenibile la piattezza dello spaziotempo.

    Riuscirà mai a farmi lavorare in pace????? Chi? Beh... lo sappiamo tutti ormai... :mrgreen:

  18. Alvermag

    Dai Enzone, aspetto la tua trattazione con vivo interesse.

    Nella vita c'è sempre da imparare e forse potrei imparare qualcosa di nuovo perfino io .... :mrgreen:

  19. ciao Alvy,
    oggi giornata di trasferimenti... domani spero di ... trasformazioni!!!!

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