17/01/14

Le deformazioni della radiazione di fondo ***

Questo articolo è stato inserito nella sezione d'archivio "Radiazioni di fondo: quante sono?"

 

Prima di raccontarvi un’interessantissima osservazione effettuata su un ammasso galattico super massiccio da parte del Caltech Submillimeter Observatory delle Hawaii, con l’aiuto di Hubble, è giusto che faccia una rapida carrellata su un effetto termico e cinematico forse poco conosciuto e dal nome quasi impossibile: effetto Sunyaev-Zel'dovich. Tuttavia, per spiegare, anche solo a volo d’uccello questo effetto, è necessario richiamare il ben più noto effetto Compton ( e parte) e quello inverso. Quest’ultimo fenomeno, però, volevo tenermelo come capitolo della MQ dato che si lega abbastanza bene all’effetto fotoelettrico che ha dato il Nobel a Einstein e di cui si era già parlato QUI. Un bel pasticcio.

Ho, allora, preso la seguente decisione: farò una rapidissima descrizione dell’effetto Compton (terra-terra) in modo da introdurre l’effetto Sunyaev-Zel'dovich e collegarlo al rumore di fondo e alla sua deformazione causata dagli ammassi galattici. Non aspettatevi descrizioni quantitative, dato che mi limiterò a una descrizione molto qualitativa e semplificata, sperando di riuscirci.

Prima di cominciare, però, volevo anche farvi partecipe di una realtà che a volte sembra nascondersi tra le righe. Io cerco di spiegare di tutto e di più e qualcuno potrebbe pensare che io abbia una conoscenza e una memoria fuori dal comune (o che -almeno- voglia mostrala). Non è assolutamente vero. Posso ammettere che su certe problematiche di tipo planetario e/o di meccanica celeste i ricordi sono ancora vivissimi e mi permettono di trovare e di descrivere le risposte con poca fatica, andando a scavare un po’ nella mia “biblioteca” mnemonica di quaranta e più anni di ricerca. Ben diversa è la situazione per la rimanente (gigantesca) parte dell’astrofisica. Ho sicuramente studiato tanto anche su di lei, ma non l’ho mai potuta approfondire a livello veramente professionale. Non pensate, quindi, che parlare di certi effetti più o meno sconosciuti mi venga del tutto naturale. Posso, magari, ricordare il concetto di base (non sempre) ma ho molto spesso bisogno di andare a rinfrescarmi “alla fonte del sapere”, così come fate voi.

Ho un piccolo vantaggio: so dove andare a cercare e -forse- impiego meno tempo a mettere in luce la parte essenziale dei concetti e a legarli tra loro. Decine di anni di contatti con colleghi di altre settori dell’astrofisica hanno creato un reticolo conoscitivo abbastanza globale, anche se molto schematico. In altre parole, posso riuscire a comprendere e a tentare di semplificare argomenti di vario genere in tempi più rapidi. Tutto lì e solo grazie al tipo di lavoro svolto e alla passione che mi ha sempre accompagnato anche nel volere sapere di più, quando -forse- non ne avevo bisogno. Da questo punto di vista, non sono molto diverso da voi. Solo che io ho lavorato come astronomo e non come avvocato o ingegnere o meccanico o fruttivendolo o operatore ecologico. Vivevo in un ambiente in cui l’astrofisica aleggiava sempre intorno.

D’altra parte, la stessa cosa è capitata e capita a tutti i grandi scienziati degli ultimi decenni. Mi ricordo che quando Margherita Hack doveva parlare in TV di Sistema Solare o di pericolo di asteroidi, era la prima a chiedermi informazioni a riguardo, dato che il suo campo era l’evoluzione stellare, in particolare nell’ultravioletto. I tempi degli scienziati che sanno tutto e di tutto è finito, dato che gli argomenti si sono estesi e si sono espansi come lo stesso Universo.

Essere esperto in tutti i campi dell’astrofisica è impossibile e chi cerca di dimostrarlo non è sincero. Tutti devono studiare qualcosa se vogliono insegnare. Penso che perfino un genio assoluto come Feynman sarebbe stato un po’ in crisi a parlare di famiglie di asteroidi. Un Nobel vivente lo ha chiaramente dimostrato (per conoscenza diretta…)! E il non averlo voluto ammettere apertamente, per mostrarsi sopra tutto e tutti, non gli ha certo giocato a favore, almeno per chi era presente al “fatto”. Meglio la sincerità e l’umiltà. Sono le uniche vere doti di qualsiasi scienziato e “uomo”, nel vero senso della parola.

Scusate la lunga digressione, ma ci tenevo a mettere in chiaro la mia posizione verso di voi. Un uomo di scienza che vuole divulgare, ma che, sicuramente, non ha la bacchetta magica di certi finti “tuttologi”. Siamo tutti uguali e tutti dobbiamo studiare e pensare per regalare qualcosa agli altri (prima di tutto a noi stessi).

Va bene. Cos’è l’effetto Compton? In pochissime parole: è uno scambio di energia che avviene tra un fotone e un elettrone. L’effetto classico dice che se un fotone si scontra con un elettrone quasi fermo è costretto a cedergli parte della sua energia e quindi, pur proseguendo la sua “corsa”, diminuisce la propria energia riducendo la frequenza (ossia, dilatando la lunghezza d’onda). Tuttavia se un fotone “stanco” incontra un elettrone vivace ed energetico, può capitare il viceversa (effetto Compton inverso) e il fotone si “ringalluzzisce”, portando via energia all’elettrone, aumentando la frequenza e riducendo la lunghezza d’onda.

La radiazione cosmica di fondo, prima di giungere fino a noi, ha dovuto sicuramente subire effetti di questo genere e ciò che vediamo, ossia le sue piccole irregolarità, ne sono un chiaro segno. L’importante è rivelarle e riconoscerle. Oggi, la strumentazione disponibile è in grado di farlo.

Ricapitoliamo un attimo la situazione. La radiazione cosmica rappresenta sicuramente un “fossile” osservabile del Big Bang iniziale (l’unico, per adesso, in attesa dei neutrini) e come tale dona informazioni fondamentali per descrivere cosa sia avvenuto prima. La sua omogeneità e isotropia è una chiara testimonianza e una conferma delle teorie odierne. Dovunque si punta un telescopio essa appare sempre uguale, imponendo una nascita comune e “quasi” puntiforme (il perché è spiegato QUI). La grande fortuna, però, è che in essa appaiono piccole fluttuazioni della temperatura. Abbiamo già visto che queste anomalie permettono di avere un’idea della struttura della materia che si conserva nel tempo e che è nata già molto prima (la BAO). Però, avviene anche il contrario, ossia la materia che si sistema secondo il suo schema crea fastidio alla radiazione di fondo e ce la mostra “deformata”.  Due modi per vedere la stessa cosa.

Cerco di spiegare meglio la situazione. L’Universo è pieno di ammassi di galassie delle dimensioni di milioni di anni luce, contenenti migliaia di galassie.  Sono zone in cui la temperatura centrale è decisamente molto alta, dell’ordine dei cento milioni di gradi. Questa specie di nucleo gassoso ha una massa incredibile, superiore a quella di tutte le galassie del singolo ammasso. Esso rappresenta una riserva di gas che non è ancora servito a formare stelle e galassie, ma è sempre lì a disposizione. Aspetta solo di raggiungere la densità critica per creare nuove vite galattiche. La sua temperatura così alta è dovuta alla forza gravitazionale che comprime il gas verso il centro, pur senza ancora dare luogo a veri collassi.

A queste temperature il gas è sicuramente ionizzato, ossia gli elettroni sono tornati liberi di vivere  vagabondi e di … rompere le scatole ai fotoni della radiazione cosmica di fondo. In queste condizioni gli effetti Compton e Compton inverso possono giocare alla grande. Fotoni rilasciano energia a elettroni che poi a loro volta la cedono a fotoni un po’ giù di corda. Tutto ciò causa una variazione nell’emissione dei raggi X che proviene dai centri degli ammassi e una perdita di isotropia nel rumore cosmico di fondo. Tutte cose teoricamente osservabili!

L’effetto complessivo di questo scambio di favori tra elettroni e fotoni prende proprio il nome di effetto Sunyaev-Zel’dovich e produce fluttuazioni molto piccole (una parte su alcune migliaia) nell’intensità della radiazione di fondo misurata nella direzione dell’ammasso. Sia l’emissione X degli ammassi che le fluttuazioni nell’emissione radio della radiazione dipendono dal raggio dell’ammasso (assunto sferico) e dalla densità del gas in esso contenuto, e permettono di ricavare la distanza dell’ammasso.  Se anche la velocità di recessione è nota tramite l’analisi dello spostamento verso il rosso della radiazione emessa, si può ricavare un indicazione della costante di Hubble e dell’età dell’Universo. Insomma, un archivio di informazioni, dovute alla massa incredibile e alla temperatura degli ammassi galattici più grandiosi. Gli stessi che danno simili indicazioni  con la loro evoluzione strutturale.

L’effetto Sunyaev-Zel’dovich si divide ulteriormente in effetto termico e in effetto cinematico. Il primo è più o meno quello che vi ho raccontato e che dipende dalla temperatura e dall’eccitazione degli elettroni. Il secondo dipende invece dal movimento reciproco delle galassie all’interno dell’ammasso. Esse si spostano una verso l’altra, a volte avvicinandosi, a volte allontanandosi, da noi, a grande velocità. i fotoni del rumore di fondo che lo attraversano possono essere “scaldati” o “raffreddati” a seconda che le galassie si avvicinino o si allontanino o per il moto complessivo dell’ammasso. In altre parole, il gas che avanza o si allontana agisce sullo spettro dei fotoni, come una specie di redshift locale. Stiamo, ovviamente, parlando di movimenti propri e non dovuti all’espansione dell’Universo.

Mentre l’effetto termico era già stato testato e verificato direttamente, quello cinematico, molto meno rilevabile, rimaneva teorico, anche se aveva potenzialità forse maggiori.

Scusatemi, se non vado più a fondo. Tuttavia chi ha voglia di saperne di più (e capire quanto sia realmente complesso questo argomento) può leggere questa TESI di dottorato dell’Università di Milano, molto ben fatta.

Va bene. Finalmente abbiamo quel minimo di base per affrontare tranquillamente la recente osservazione di cui parlavo all’inizio.

Determinando la velocità in un ammasso, è stato per la prima volta rilevato l’effetto Sunyaev-Zel'dovich cinematico, causato dall’interazione di enormi masse in movimento.

MACS J0717.5+3745 è un ammasso galattico molto “dinamico”, con una massa totale di circa 1015 masse solari (o, se preferire, 1000 volte la massa della Via Lattea). Esso contiene tre sotto ammassi piuttosto statici (A,C e D) e uno (B) che si muove alla velocità non certo trascurabile di 3000 km/sec. Dopo molte analisi e nuove osservazioni si sono riuscite a legare le lunghezze d’onda, osservate in questo drammatico movimento di spinte e di attrazioni, con l’effetto cinematico prima citato.

L’ammasso aveva già mostrato le caratteristiche termiche dell’effetto. Gli elettroni liberi nel centro caldissimo, composto di gas primordiale, avevano lasciato un chiaro segno sull’energia dei fotoni del rumore di fondo che l’avevano attraversato. Tuttavia, qualcosa non tornava nelle varie lunghezze d’onda. L’anomalia poteva essere spiegata dal movimento di B? Si è provato, allora, ad applicare il debole e teorico effetto cinematico e il risultato è stato straordinario. Adesso le cose tornano perfettamente.

Ribadiamo ancora il concetto sulla differenza dei due tipi di effetto. Il riscaldamento causa una distorsione del tutto random dato che tale è il movimento degli elettroni. L’effetto cinematico, invece, è causato da un moto coerente di tutto il sotto ammasso e, quindi, dei suoi elettroni.

Prima di questa verifica locale, si aveva un’idea generale dell’effetto cinematico solo attraverso studi statistici  eseguiti su molte galassie e ammassi di galassie. Insomma, una specie di distorsione media che sembrava potersi riferire a questo processo. Il caso di MACS J0717.5+3745 è invece un risultato ottenuto su un singolo oggetto, a livello decisamente quantitativo. Ve la butto lì. Riuscire a misurare la velocità all’interno di un ammasso può aiutare molto a capire l’interazione con l’espansione globale dell’Universo primitivo e la sua possibile accelerazione. Dobbiamo solo aspettare la nuova versione della strumentazione (Multiwavelength Sub/millimeter Inductance Camera) che sarà impiegata al CSO delle Hawaii.

Magari, vado a dargli una spintarella di persona (ah ah ah)… 

Lavoro originario QUI

effetto Sunyaev-Zel'dovich cinematico
MACS J0717.5+3745. L’immagine ottica di Hubble è mostrata in verde. Le osservazioni del CSO a due diverse lunghezze d’onda sono le zone rosse e blu. I sottoammassi sono evidenziati dai contorni relativi alla massa contenuta al loro interno. Il sottoammasso B è quello di destra, dove non è assolutamente presente una delle due lunghezze d’onda (quella blu). Questa stranezza è perfettamente spiegata dall’effetto Sunyaev-Zel'dovich cinematico. (Credit: P. Korngut)

20 commenti

  1. beppeSunyaev-Zel’dovich

    Ciao Enzo, ho bisogno di qualche chiarimento: 
    Quando citi:
     "L’Universo è pieno di ammassi di galassie delle dimensioni di milioni di anni luce, contenenti migliaia di galassie.  Sono zone in cui la temperatura centrale è decisamente molto alta, dell’ordine dei cento milioni di gradi. Questa specie di nucleo gassoso ha una massa incredibile, superiore a quella di tutte le galassie del singolo ammasso." 
    Intendi l'Universo nelle sue fasi iniziali? 
    Un'altra domanda che mi è venuta facendo ricerca sull'effetto Compton, I raggi gamma atmosferici possono essere prodotti da effetto Compton inverso?  

  2. beppe

    oops.. come vedi dal nome precedente mi sono dato alla vodka!  :mrgreen:

  3. :mrgreen:

    carissimo ... spero che la vodka sia stata smaltita attraverso qualche effetto quantistico...

    Comunque: beh... gli amassi sono quelli che vediamo e quindi si riferiscono all'epoca in cui hanno inviato la luce. In questo caso mi sembra intorno ai 5 miliardi di anni fa.

    Sullo scattering atmosferico, penso che l'effetto sia sicuramente attivo sia per frenare e ridurre che emettere (ma sempre con meno energia) .

  4. beppe

    Mi riferivo a raggi gamma temporaleschi

    http://www.lescienze.it/news/2005/05/08/news/raggi_gamma_dai_temporali_terrestri-584958

    in certe condizioni l'atmosfera è un vero e proprio acceleratore di particelle!

  5. sì, ma non pensiamo che i raggi gamma si creino solo per effetto Compton... :wink:

  6. Supermagoalex

    Ciao Enzo,
    l'umiltà (unita ovviamente alla tua immensa professionalità) che traspare leggendo i tuoi articoli è per tutti noi lettori (spero di parlare a nome di tutti) una importante lezione di vita.
    Fatta questa doverosa premessa, avevo già sentito parlare dell'effetto Compton e Sunyaev-Zeldovich in un articolo che criticava il modello dell'Universo statico proposto da un certo Lerner (tanto caro ai miei amici astrofili  :-D).
    Questa teoria prevede, tra le varie cose, che i fotoni perdano energia mentre viaggiano attraverso il cosmo, ma l'autore ribatte: "There is no known interaction that can degrade a photon's energy without also changing its momentum, which leads to a blurring of distant objects which is not observed. The Compton shift in particular does not work"... in parole povere, che vuol dire?  :)
    Se è un discorso troppo complicato, ne parleremo al tuo rientro, non ti preoccupare! 

  7. caro SMA,
    troppo buono... dico solo la verità. Ad esempio, non conosco questo Lerner: l'unica cosa che posso dirti è che nella definizione dell'effetto Compton si fa proprio in modo che il momento angolare sia conservato. E tutto torna ed è stato verificato... Comunque, ne riparleremo in dettaglio quando parleremo dell'effetto. Intanto cercherò di fare qualche ricerca su questo Lerner... :wink:

  8. supermagoalex

    Ma il momento angolare secondo le regole della MQ sarebbe lo spin? Cioè le particelle elementari non ruotano attorno a nulla ma posseggono questa caratteristica, che può assumere solo determinati valori. Nel caso dei fotoni lo spin e' uguale a 1. Quindi quando si parla di momento conservato nell'effetto Compton in realtà ci si riferisce allo spin?  :-?

  9. direi proprio di no. Il momento angolare risultante è quello che si calcola nell'urto fra particelle. Adesso non ho più tempo a descrivere l'effetto e provare anche a inserire le relative formule (che possono comunque essere comprese abbastanza facilmente). Ti consiglio di dare un'occhiata a " Compton scattering" su Wikipedia inglese. Vedrai che è come discutere di biliardo o giù di lì...

  10. caro Alex,
    in realtà non vi è nessun bisogno di inserire momenti angolari... basta conservare energia e quantità di moto... Mi sa che mi metto a scrivere...  :wink:

  11. caro SMA e cari tutti...
    ormai mi conoscete... SMA mi ha stuzzicato troppo ( :mrgreen: ) e ho cominciato a pensare all'effetto Compton e alla sua analogia quasi perfetta con il gioco del biliardo. La faccenda è molto interessante perché stimola il ricordo o il concetto di conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica nel caso di un urto completamente elastico come quello che si vede nel biliardo. Un bel ripasso di meccanica (per chi ha il libro della fisica addormentata o la conosce per i fatti suoi) e un'applicazione trasportata nel campo relativistico delle particelle. D'altra parte l'energia di un fotone e la sua quantità di moto la conosciamo già (in parte dall'articolo di Red sulla costante di Planck e in parte da quanto ho scritto nell'articolo sul principio d'indeterminazione). Ne segue che si potrebbero cogliere due piccioni con una fava! Mostrare come la conoscenza della meccanica classica sia essenziale anche per quella quantistica e mostrare un effetto quantistico che è stato fondamentale per il problema della dualità tra onda e particella. Un bel lavoro, anche se non molto semplice come concetti di base.
    Oggi provo a iniziare partendo da un tavolo verde e poi provo a cambiare soltanto le "palle" in gioco, inserendo un fotone e un elettrone. Magari ne approfitto anche per caratterizzare meglio l'urto elastico e come si diventa grandi giocatori (se le palle e il biliardo sono perfetti). Non so... ci provo.

    Problema: non credo di farcela prima della partenza (devo ancora terminare alcune cose logistiche e organizzative) e nemmeno vorrei correre e commettere qualche errore. Temo, perciò che dovrete aspettare quasi un mesetto, ma vi prometto un articolo esauriente e semplificato al massimo (non occorrono derivate, ma solo un po' di algebra e poca trigonometria). 

    Un invito allora: andate a rileggervi gli articoli  7.1 e 7.2 di Red sulla MQ. Poi quello (8) che ho scritto da poco (soprattutto quando definisco la quantità di moto del fotone) sempre sulla MQ. Non farebbe male nemmeno un ripassino sulla poca trigonometria che ho introdotto nella matematica e nemmeno l'articolo sui prodotti notevoli.
    L'ideale sarebbe anche fare un giretto sull'energia cinetica e sulla quantità di moto (ma quello l'ho scritto solo sul libro... e quasi niente negli articoli, anche perché troppe cose sono legate tra loro). 

    Insomma, vi voglio belli "tosti" e pronti a giocare a biliardo,... ops... :oops: ... a eseguire e descrivere l'effetto Compton. Vedrete che ci divertiremo moltissimo! 

    Ah... sono coinvolti anche i giocatori di bocce, benché  in quel caso gli urti non sono proprio anelastici.  Sì, sì, mi sembra una buona idea e potrei iniziare con due o tre casi particolari del biliardo (o delle bocce) e poi piano piano passare al Compton.
    Meglio che non corra e che prepari qualcosa di veramente completo e ben articolato... Abbiate pazienza, ma vi lascio -comunque- molto da studiare!!  :-P :twisted:

    Accidenti a SMA e alla sua contagiosa curiosità!!!! :twisted:  

    P.S.: solo per lui... direi che non è proprio il caso di inserire anche lo spin, almeno per quanto concerne l'effetto Compton. Non capisco, quindi, perché e come quel Lerner l'aveva tirato in ballo... Se trovi qualcosa fammelo sapere (al ritorno, però...). 

  12. Supermagoalex

    Ciao Enzo, sono tornato adesso dalla montagna! (Sigh...  :( )
    L'articolo è questo qua, e tratta la critica al modello cosmologico "Tired light":
    http://www.astro.ucla.edu/~wright/tiredlit.htm
    Le critiche al modello di Lerner sono qua:
    http://www.astro.ucla.edu/~wright/errors.html
    Ho trovato il sito del Prof. Wright molto interessante, c'è anche una traduzione in italiano:
    http://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmolog.htm
    Le FAQ poi sono grandiose, in quanto riguardano molti piccoli/grandi dubbi che possono venire ai meno esperti quotidianamente  :)
    Con calma ci potresti dare un'occhiata e se lo ritieni opportuno inserirlo tra i contributi/link utili.
    Per quanto riguarda lo spin non è stato Lerner a tirarlo in ballo, bensì io  :-D
    Poi pensandoci bene non è possibile modificare lo spin di una particella, in quanto si trasformerebbe in un'altra particella... quindi momento angolare e spin sono due cose diverse... comunque tra MQ e fisica c'è davvero molta carne al fuoco... non so da dove cominciare!  :mrgreen:

     

  13. Andrea.Andrea

    Che belli quei link SMA. ;)
    Ad un primo sguardo si nota che le FAQ sono davvero il top.
    Ora mi ripasso due cose e poi cercherò di farmi trovare pronto per l'articolo.
    Ciao e grazie!

  14. grazie SMAlex.
    Le FAQ sono veramente importanti perché potrebbero dare l'idea per molte domande o articoli dedicati... Il punto "infinito", ad esempio, conforta in pieno l'articolo che avevo scritto io... molto bene...
    Sì, adesso le inserisco nei CONTRIBUTI.

    Oggi non riesco a leggere gli articoli (ossia, magari ci riuscirei ma poi mi viene voglia di scrivere qualcosa e dovrei farlo di corsa facendo pasticci...). Me li tengo per il ritorno e ti prego di ricordarmelo a metà febbraio  :wink:

    Volevo completare la prima parte del ... biliardo (se ci riesco),  ma sena farmi prendere dalla smania di finire se no poi mi scappa qualche errorino o errorone...

    ci sentiamo ancora domattina per un salutone ufficiale!!!  :mrgreen:

  15. AlexanderG

    Caro Enzo,
        quando parli del movimento reciproco delle galassie all’interno dell’ammasso, lo definisci come una specie di "redshift locale" perché l'ammasso è in espensione?
    Altrimenti a me era venuto in mente l'effetto Doppler.

  16. hai ragione Alex, l'ho chiamato redshift locale, ma in realtà è un effetto doppler che si sovrappone al redshift dovuto all'espansione. Siete ormai quasi perfetti!!!! :-P

  17. AlexanderG

    Grazie :)

  18. gioyhofer

    Ciao Enzo,
    quindi da quello che mi sembra di aver capito, le anomalie che si rivelano nella radiazione di fondo  sono proprio dovute a questo effetto Compton, causato dallo scontro delle particelle meno cariche con quelle più cariche...
    Giorgia 

  19. cara Giorgia,
    direi meglio... l'effetto Compton (e quello che deriva da lui) causa anomalie nella RCF che attraversa gli ammassi galattici. E' quindi un qualcosa di successivo alle anomalie già esistenti nel RCF che erano legate alla temperatura e alla BAO. Ciò non toglie, però, che l'effetto Compton "puro" sia avvenuto anche in tempi primordiali, dato che altri non è che un urto tra fotoni ed elettroni. Una dispersione fotonica, normalmente, dato che i fotoni dopo l'urto vanno un po' ovunque. Tuttavia, quello che riusciamo a vedere nel RCF, a parte i disturbi che ha avuto passando attraverso galassie e ammassi,  sono proprio i primi fotoni che si sono lanciati nello spazio, in parte sicuramente dopo aver subito effetto Compton, ma soprattutto originatesi direttamente nella materia meno opprimente ma ancora abbastanza calda per produrli. Insomma un gioco corale, comandato però dalle variazioni di temperatura presenti nella materia che fabbricava fotoni più o meno energetici.

    Comunque sia, la tua domanda dimostra che hai capito benissimo le interazioni possibili. Questo è veramente l'importante e vedrai che tutto sarà ancora più chiaro quando finirò con la descrizione particolareggiata dell'effetto Compton.

    Brava! Veramente brava!  :-P

  20. gioyhofer

    Le tue spiegazioni rendono tutto molto più semplice e comprensibile di quanto si possa immaginare...
    Grazie e buone vacanze
    Aloha.... 

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