23/02/21

Mettiamoci alla prova con la Relatività Generale - la derivata covariante

Questo articolo fa parte della sezione "METTIAMOCI ALLA PROVA!" all'interno della Relatività Generale al microscopio

 

In questo articolo riprendo gli argomenti trattati da Enzo nell'articolo “La derivata non conserva l'uguaglianzadella serie “La relatività generale al microscopio” proponendoli nelle loro versioni applicate alle coordinate cartesiane ed alle coordinate polari.

L'oggetto principale dell'articolo di Enzo è la derivata covariante dei tensori. Questo argomento richiama molti dei temi trattati negli articoli precedenti.

Per arrivare alla derivata covariante ho pensato di proporre un percorso che ricapitola questi temi con alcuni esempi.

Riassumo qui di seguito il contenuto di questo articolo. Spero che possa essere una traccia che aiuti a seguire e legare i vari argomenti toccati.

Il punto di partenza sono dagli oggetti di queste derivate. Vale a dire i campi scalari, vettoriali e tensoriali in generale. I campi associano i valori di una grandezza ai punti dello spazio.

Viene quindi naturale domandarsi quale sia il tasso di variazione di queste grandezze.

Le leggi della Relatività Generale concepita da Einstein sono espresse da relazioni tra tensori, vale a dire tra entità geometriche, valide in ogni sistema di coordinate. Il tasso di variazione che cerchiamo è una delle basi di questa costruzione. Anche esso dovrà essere un tensore che è denominato derivata covariante.

Per esplorare la relazione tra entità geometriche e le coordinate propongo un semplice esempio come il calcolo dell'angolo tra vettori. I vettori e l'angolo tra vettori sono entità geometriche. In particolare l'angolo è uno scalare. Il risultato del calcolo dovrà essere indipendente dalle coordinate. Dovrà essere lo stesso sia se effettuato in coordinate cartesiane sia se effettuato in coordinate polari.

Ritornando al tasso di variazione, partiamo dall'esplorazione dal caso più semplice. Il tasso di variazione di un campo di uno scalare. Vedremo che è un tensore che abbiamo già incontrato: il gradiente. Il gradiente è un tensore che si trasforma in modo covariante. Da qui il termine derivata covariante, in questo caso di un campo scalare. Per saggiare la sua natura tensoriale propongo il calcolo del tasso di variazione di un campo scalare lungo un vettore.

Passo quindi al tasso di variazione di un campo vettoriale. Prima in coordinate cartesiane e poi in coordinate polari. L'aspetto essenziale da affrontare è che per calcolare un tasso di variazione occorre confrontare due vettori posti in due punti diversi. Per fare il confronto occorre trasportare un vettore nel punto dove si trova l'altro vettore.

Nel caso di coordinate cartesiane, dove i vettori base sono costanti, ce la caviamo comunque con le derivate parziali delle componenti dei vettori. Le coordinate polari, per la loro caratteristica di essere curvilinee, fanno emergere la necessità di considerare anche le variazioni dei vettori base. Per esprimere le variazioni dei vettori base in una forma utilizzabile all'interno delle espressioni della derivata covariante si utilizzano dei particolari elementi denominati simboli di Christoffel. Con i simboli di Christoffel saremo in grado di esprimere le componenti del tensore derivata covariante di un vettore in una forma valida per le coordinate polari, applicabile ad ogni altro tipo di coordinate ed estendibile anche a spazi non Euclidei.

Aggiungo che questo articolo è una panoramica su questi argomenti con l'obiettivo dare una idea del loro contenuto. La trattazione non sarà rigorosa dal punto di vista matematico.

In fondo all'articolo ci sono gli sviluppi con i quali ho ottenuto le risposte alle domande.

 

Panoramica sui campi scalari

Panoramica sui campi vettoriali

 

Domanda 1

 

Componenti in coordinate cartesiane

Grandezze geometriche, tensori e coordinate

Angolo tra vettori

Domanda 2

Derivata covariante di un campo scalare

Gradiente come derivata covariante di un camposcalare

    Le trasformazioni covarianti e controvarianti dei tensori sono trattate in questo articolo.

Trasformazioni delle componenti della derivata covariante Derivata direzionale

Derivata covariante di un campo vettoriale Derivata covariante in coordinate cartesiane. Trasporto parallelo di un vettore

Componenti della derivata covarianted i un vettore in coordinate cartesiane

Componenti della derivata covariante in coordinate polari

Tensore nullo in un riferimento nullo per tutti i riferimenti

Derivata covariante in coordinate polari. Dipendenza delle componenti trasportate dai vettori baseSimboli di Christoffel.

Espressioni delle componenti della derivata covarianteEspressione della derivata covariante di un vettore   Abbiamo visto le loro espressioni nell'articolo precedente.

Espressione dei simboli di Christoffel in coordinate polariCalcolo dei simboli di Christoffel in coordinate polari

Qui di seguito gli sviluppi con i quali ho ottenuto le risposte alle domande.

Risposte 1 Risposte 2

 

1 commento

  1. Devo ribadire il mio grazie e fare i più sinceri complimenti a Fabrizio. Sta dando un contributo essenziale all'intera faccenda, Direi, senza tema di smentita, che il lavoro più grande lo sta facendo lui! Quando uniremo gli articoli, avremo fatto una bella impresa a due teste e quattro mani!

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