Ott 27

Non confondiamo spostamento verso il rosso e redshift! ***

Questo articolo è stato inserito in due sezioni dell'archivio: velocità della luce e spaziotempo / cosmologia

 

In questo articolo cercherò di eliminare la confusione che si fa tra effetto doppler e redshift cosmologico (spesso una differenza non compresa da tanti divulgatori non professionisti). Provo, perciò, a spiegare in modo semplice (senza formule che ci porterebbero troppo in là) la profonda e fondamentale differenza concettuale. Essa va tenuta sempre in conto anche quando si applicano al redshift le formule dell’effetto doppler. Ciò si può anche fare, vista la somiglianza “pratica”, ma con estrema cautela: le cause e le grandezze fisiche coinvolte sono, infatti, completamente diverse. La stessa legge di Hubble va compresa e applicata con la dovuta attenzione. Tanto che ci sono, dico due parole anche sul redshift gravitazionale (un’altra cosa ancora). Per maggiori chiarimenti invito tutti ad andare a rileggere i molti articoli dedicati allo Spazio-Tempo e all’espansione dell’Universo (QUI).

In italiano si chiama spostamento verso il rosso (ma esiste anche uno spostamento verso il blu). In inglese vi è un termine a prima vista uguale: redshift. Purtroppo, dato che i due termini sembrano la stessa cosa, molto spesso i libri li trattano nello stesso modo. Mai errore è stato concettualmente più grande, anche se l’applicazione pratica può essere la stessa (fino a un certo limite).

In questo articolo, senza entrare nel campo dei calcoli relativistici più complessi, cerco di dimostrare, attraverso alcuni esempi, che anche se le due cose possono sembrare analoghe, e che un certo formulario si può usare per entrambe, le motivazioni fisiche che stanno alle loro spalle sono completamente diverse. Senza comprendere questa differenza si possono commettere errori sia pratici che concettuali enormi.

Posso già dirvi che la relatività ristretta, da sola, non riesce a diversificare l’applicazione pratica e che per descrivere il redshift, oltre certi limiti, è necessario costruire uno modello di base, che nel nostro caso è quello dell’Universo in espansione.

Cosa ci indica l’uguaglianza redshift = spostamento verso il rosso? Beh… un concetto che ormai conosciamo molto bene, soprattutto dopo gli articoli scritti sull’origine della spettroscopia. Uno spostamento di una generica onda luminosa (che potrebbe essere anche sonora) verso lunghezze d’onda maggiori. Il termine, perciò, definisce solo un effetto e non una causa.

Questo effetto è facilmente calcolabile: si conosce molto bene lo spettro luminoso costruito in laboratorio (e quindi in condizioni di quiete) e si misura lo spostamento che si osserva nella luce che proviene da un astro. Questo lo possiamo fare con facilità, dato che lo spettro emesso deve essere identico sia sulla Terra che in qualsiasi luogo dell’Universo. Una certa lunghezza d’onda è la stessa ovunque. Questo è il primo concetto, banale finché volete, che bisogna tenere bene a mente: qualsiasi oggetto celeste emette secondo un unico spettro luminoso, ossia a ogni lunghezza d’onda corrisponde una ben definita energia. Ne parleremo anche riguardo al modello atomico di Bohr e alla curva di corpo nero (QUI)…

Uno spostamento di una lunghezza d’onda verso il rosso (ma anche verso il blu) può essere descritto da un numero senza dimensioni, facilmente misurabile.

z  = (λ – λ0)/λ0

Attenzione ho solo detto “misurato”, dato che esso non è altro che un effetto.

E’ veramente un numero costruito con molta attenzione: λ è la lunghezza d’onda osservata, mentre λ0 è la lunghezza d’onda misurata in laboratorio e che deve essere perfettamente uguale a quella emessa dalla stella in esame. La divisione per quest'ultimo valore crea un numero senza dimensioni e lo normalizza rispetto alla lunghezza d’onda di riferimento. Insomma ne fa un numero indipendente dalla lunghezza d’onda che si osserva.

Prima di proseguire, vediamo il significato fisico di un’operazione che “subiamo” e che è ancora senza una causa. Spostare la lunghezza d’onda da una parte o dall’altra dello spettro implica un cambiamento d’energia della luce. Il vero problema è capire la ragione fisica che causa questa variazione di energia che continuiamo a chiamare spostamento verso il rosso e/o redshift, dato che siamo ancora bloccati al solo effetto, legato a un significato fisico, ma senza una motivazione altrettanto fisica.

Scriviamo bene la domanda che dobbiamo farci: “Perché la luce (o se preferite i fotoni), pur essendo stata emessa con una determinata energia, sembra, a un osservatore, mostrare un energia del tutto diversa?” Ho usato il verbo “sembra” proprio perché stiamo assistendo a un effetto e non possiamo avere la sicurezza che vi sia una sola causa a produrlo. Anzi, non abbiamo  alcuna certezza che ciò che osserviamo sia reale o solo apparente. La luce, con i suoi miraggi, ci ha abituato a molti scherzi…. Pensate che lo stesso Hubble si è sempre ben guardato dall’associare le sue misure a una causa sicura…

E’ ora di affrontare il toro per le corna: “Cosa provoca lo spostamento verso il rosso o il blu dello spettro elettromagnetico, che sappiamo misurare così bene?”

Le ragioni sono due (in realtà tre, ma l’ultima per il momento la tralasciamo) e sono completamente diverse. Qui sta il punto chiave di tutta la questione.

Effetto doppler

E’ un fenomeno comunissimo che normalmente si osserva direttamente quando riguarda le onde sonore, ma viene utilizzato comunemente in astrofisica relativamente alle onde luminose. Esso indica la direzione dello spostamento di una sorgente che sta emettendo luce. Se lo spostamento va verso il rosso la sorgente si allontana. Se va verso il blu la sorgente si avvicina.

L’utilità è ovvia, soprattutto se si pensa ai sistemi stellari binari e agli esopianeti. Oggi si riescono a misurare variazioni della lunghezza d’onda di una certa riga spettrale (le righe si misurano meglio che il continuo, ovviamente…) tali da calcolare velocità di spostamento di pochi metri al secondo. Attenzione: ho parlato di velocità. Posso farlo perché ho già ammesso la causa. Ripeto: ho potuto parlare di velocità perché sto già dicendo che vi è uno spostamento di una sorgente luminosa, ossia ammetto che esista una variazione di distanza in funzione del tempo. Pensateci bene, mi raccomando!

Potrei usare le solite figure che mostrano un’onda circolare che si propaga da una sorgente in movimento e mostrare lo schiacciamento e/o il dilatamento dei tempi di arrivo al ricevitore. Preferisco, invece, utilizzare uno schema molto più istruttivo che conosciamo bene dopo quel poco di matematica che abbiamo fatto. L’abbiamo utilizzato nientemeno che nella QED. Siamo sicuri, quindi, che è più che corretto!

Consideriamo la Fig. 1.

Figura 1
Figura 1

In ascissa mettiamo lo spazio percorso e in ordinata il tempo. E’ il modo migliore per “vedere”  le velocità e per legare tempi con lunghezze d’onda (che sono pur sempre delle lunghezze). Iniziamo col disegnare una sorgente S e un ricevitore R che non si muovono. Essi sono, quindi, rappresentati da due rette perpendicolari all’asse dello spazio (x). All’istante t1 facciamo partire da S un fotone o un’onda o come volete chiamarla. Esso si sposta sia nel tempo che nello spazio e se abbiamo scelto le unità di misura giuste il percorso compiuto è rappresentato da una retta a 45°. Fin qui niente di strano e niente di difficile.

All’istante t2 il fotone raggiunge il ricevitore R. Per semplicità, immaginiamo che sia arrivata una sola onda nel tempo t2 - t1. Ciò vuole anche dire che xR– xS è la lunghezza d’onda del fotone emesso. Cambiando lunghezza d’onda otterremmo che nello stesso intervallo di tempo arriverebbero più o meno di un’onda. Tutto lì. La velocità della luce deve essere sempre la stessa e quindi la retta deve sempre essere inclinata nello stesso modo. La differenza tra t2 e t1 non è altro che il periodo P, ossia il  tempo necessario a descrivere l’onda scelta. Vale la relazione ben conosciuta:

c = (xS – xR)/ t2 – t1) = λ/P

Se al tempo t3 la sorgente emette un altro fotone, esso giungerà in R al tempo t4 e continua a valere la stessa relazione di prima, ossia:

c = (xS – xR)/(t4 – t3) = λ/P

La sorgente e il ricevitore non si sono mosse e la lunghezza d’onda è rimasta sempre la stessa. In altre parole il nostro spostamento verso il rosso z è costretto a rimanere uguale a zero.

Cominciamo a complicare le cose in Fig. 2. Assumiamo che la sorgente S si allontani dal ricevitore con una certa velocità v. Questo fatto si traduce in un percorso della sorgente, inclinato rispetto alla perpendicolare all’asse dello spazio. In particolare, sta andando verso sinistra, ossia aumenta lo spazio tra S e R.

Figura 2
Figura 2

Vediamo cosa succede in modo grafico e molto immediato e intuitivo. Al tempo t1 la sorgente emette il suo fotone. Il fotone viaggia e non ha più alcun legame con la sua sorgente. Ormai sa dove andare! Al tempo t2 arriva nuovamente in R (che non si è mosso assolutamente). Otteniamo nuovamente la stessa identica relazione di prima:

c = λ/P

All’istante t3 la sorgente emette un nuovo fotone. Anch’esso si stacca e inizia il suo viaggio. La sua velocità è sempre la stessa (c) e quindi percorre spazi uguali in tempi uguali. Però, sta succedendo qualcosa… il tempo di arrivo t4 sembra non arrivare mai. Beh… basta fare la differenza tra t4 e t3. Accidenti, è vero! E’ maggiore di t2 – t1. Il che vorrebbe dire che è cambiato il periodo necessario a compiere un’onda. Siamo costretti a dire che ora abbiamo un nuovo P1 che, poiché la velocità della luce è sempre la stessa, mi porta a una nuova relazione:

c = λ1/P1

Cosa dobbiamo concludere? Che è cambiata la lunghezza d’onda del mio fotone! In realtà, però adesso sappiamo la causa, dato che abbiamo fatto muovere la sorgente.Possiamo concludere che lo spostamento della sorgente ha causato un allungamento apparente della lunghezza d’onda. Che bello! Ho ottenuto il mio spostamento verso il rosso e posso calcolare velocemente anche il numero z che vale:

z =  (λ- λ)/λ 

Attenzione, adesso! Dato che ho introdotto una velocità di spostamento di S rispetto a R conosco anche la velocità v con la quale la sorgente si sposta dalla posizione iniziale (descrivendo la retta inclinata). Attraverso facili, ma noiosi, passaggi matematici legati alla figura (triangoli e cose del genere). si riesce a dimostrare facilmente che:

z = v/c        …. (1)

Cosa abbiamo imparato da queste figure e relazioni? Che lo spostamento verso il rosso non è un  effettivo cambiamento dell’energia del fotone, ossia della sua lunghezza d’onda. Lui viene sempre emesso nello stesso modo. Ciò che cambia è il tempo di arrivo al ricevitore e questo fatto fa apparire la lunghezza d’onda osservata maggiore di quella reale. Un fenomeno apparente, ma di utilità enorme per lo studio dei movimenti degli astri rispetto a noi..

La semplicissima relazione (1) ci permette di calcolare, conosciuto z (misurabile) la velocità v di spostamento della sorgente, assumendo fissa la Terra (cosa fattibile nel caso di doppie strette o di esopianeti).

Ribadisco ancora: la trattazione è perfetta e applicabile a tutto ciò che mostra un evidente movimento di allontanamento (o di avvicinamento).

Beh… una scoperta eccezionale che possiamo estendere ai movimenti di tutti gli oggetti nel Cosmo. Magnifico!

Nemmeno per sogno, cari amici…

La relazione che abbiamo trovato riguarda, ovviamente, movimenti di corpi celesti e quindi deve accettare la teoria della relatività ristretta di Einstein… In poche parole, la velocità v non può superare la velocità c. Purtroppo, la relazione (1) non si cura assolutamente di questo fatto. Lei è stata trovata attraverso la geometria euclidea. Per lei z può benissimo valere 1, quando v =c, ma anche molto di più...

E, infatti,  z, misurato per galassie non molto vicine, supera di molto il valore 1. Cosa vorrebbe dire? Che si può tranquillamente superare la velocità della luce? No, non diciamolo nemmeno per scherzo se no Einstein si rigirerebbe nella tomba. Possiamo solo concludere che la relazione (1), tanto bella e simpatica, può applicarsi solo quando la velocità v è molto minore di c.

Praticamente, funziona ancora per v uguale a circa 1/3 di c. Funziona per scopi pratici, ma concettualmente è già sbagliata. Essa darebbe luogo alla Fig. 3, dove riportiamo v/c in funzione di z.

Figura 3
Figura 3

Come si vede molto bene, è una retta che passa per l’origine e che al crescere di z porta a valori maggiori di c. No, non possiamo permetterlo e allora è necessario tener conto della relatività ristretta che ci impone che la retta v/c = 1 non possa mai essere superata. La relazione, fatti i dovuti calcoli, cambia completamente e diventa:

z =  ((1+v/c)/(1-v/c))1/2 - 1

Possiamo applicare questa nuova formula alla determinazione delle velocità di galassie lontane? Sicuramente sì, ma stiamo attenti che stiamo comunque ammettendo che vi sia un effettivo spostamento di una sorgente rispetto al ricevitore! Solo così ha senso parlare di velocità v. Non perdete mai di vista questo punto chiave, mi raccomando!

Per il momento, però, stiamo accettando che z sia dovuto solo all’effetto doppler, relativistico che sia oppure no.  Ci può andare anche bene, restando nella relatività ristretta e tenendo conto che ancora nessun oggetto osservato nell’Universo ha mostrato una velocità di allontanamento uguale alla velocità della luce: d’altra parte sarebbe assurdo, dato che per accelerare qualcosa a un tale velocità bisognerebbe avere un’energia infinita. Insomma tutto sembra tornare perfettamente.

Tuttavia, ci stiamo rendendo conto di quello che stiamo facendo? Non abbiamo avuto assolutamente bisogno di assumere un Universo in espansione oppure no. La faccenda non è assolutamente stata presa in considerazione. Non solo, ma ci siamo limitati alla relatività ristretta. Se considerassimo la relatività generale capiremmo che la velocità della luce può essere tranquillamente superata, ma solo e soltanto da parte dello stesso spazio.

Niente da fare, dobbiamo accettare che vi sia un’altra ragione fisica capace di mostrare un redshift, che però non ha niente a che vedere con l’effetto doppler, relativistico oppure no.

Redshift cosmologico

Chiariamo subito un punto fondamentale. Finora abbiamo fatto fisica basata su ciò che possiamo verificare nel mondo che ci circonda. Non abbiamo avuto bisogno di modelli teorici, al limite solo della teoria della relatività che possiamo ormai considerare parte della nostra realtà, a tutti gli effetti. D’ora in poi, invece, dobbiamo introdurre un modello teorico e solo sulla base di esso possiamo parlare di spostamento verso il rosso. Anzi, proprio le misure dello spostamento, legato alla nuova causa che può crearlo, ci serve a verificare il modello. Il modello non è altro che un Universo in espansione!

Innanzitutto, perde completamente di significato la parola “velocità”. La useremo spesso e volentieri, ma con un significato del tutto diverso da quello precedente. Non è assolutamente più uno spostamento di qualcosa nello spazio, ma un qualcosa che viene compiuto dallo spazio stesso. Se perde di significato la parola velocità, perde anche di significato la variazione di distanza. L’unica cosa che continua ad avere senso VERO è la variazione del tempo. Cerco di spiegarmi molto meglio…

Cosa vuol dire che vi è un’espansione dello spazio? In poche parole, che nasce continuamente nuovo spazio tra una certa sorgente e il ricevitore. Tuttavia, sia la sorgente che il ricevitore NON si muovono assolutamente! Mi raccomando, mettiamocelo bene in testa se no la confusione sarà sempre enorme.  Questa volta, perciò, la cosa apparente non è più la lunghezza d’onda che riceviamo, ma il moto di allontanamento tra sorgente e ricevitore.

La misura effettuata sulle lunghezze d’onda è la stessa dell’effetto doppler (ossia il numero z), ma il legame tra le grandezze fisiche è concettualmente diverso!  In altre parole, l’effetto doppler e il redshift si manifestano nello stesso modo ma descrivono grandezze e concetti del tutto diversi.

Nel resdhift l’unica cosa che succede (come dettato dal modello che abbiamo deciso di seguire) è l’espansione dello spazio in funzione del tempo. La velocità di recessione, quindi, è una velocità molto particolare. Essa è la velocità alla quale un oggetto celeste sembra allontanarsi da noi per effetto dell’aumentare continuo di spazio tra lei e noi. Non per niente si ha solo redshift e non blueshift, ossia spostamento verso il blu.

Ripeto ancora: sebbene in apparenza l’effetto dell’espansione dello spazio sia analogo a quello di un moto reale di oggetti, la relazione che contiene questo tipo di redshift non contiene più una velocità effettiva dei corpi, ma solo una velocità apparente che va considerata per quello che è, senza mischiarla con quella che causa l’effetto doppler.

Il guaio è che le formule sono esattamente le stesse, ma ben diversa è la loro interpretazione. Per piccoli valori di z il redshift può essere tranquillamente interpretato come effetto doppler, dove, però, si capisca bene che la velocità di allontanamento tra sorgente e ricevitore è ora una velocità apparente che chiamiamo di recessione per riuscire a diversificarla. Solo in questo senso può nascere la legge di Hubble:

u = H0D

ossia:

z =  (λ- λ)/λ = u/c = H0D /c

Attenzione: L’ho chiamata u e non v proprio per farvi pensare sempre alla loro differenza. Anche D, che viene considerata una distanza, come già detto, perde di un vero significato, anche se può collegarsi a distanze effettive al variare del tempo. Sarebbe molto meglio (come cerco di fare sempre io) parlare di tempo necessario a partire dalla sorgente e arrivare al ricevitore. Solo il tempo è veramente legato alla continua intrusione di nuovo spazio, ossia all’espansione.

Il legame tra velocità e distanza che tanto affascina e tanto serve in cosmologia va intesa per quello che è. La sua importanza è enorme perché a partire da z (misurabile) ci permette di calcolare il tempo impiegato dalla luce per giungere fino a noi. Possiamo anche definirla distanza, ma stando molto, molto attenti…

Facciamo un esempio terra-terra per vedere come, anche ragionando in termini di effetto doppler, il valore di z deve tener conto della relatività ristretta.  La legge di Hubble va applicata nel modo giusto, per lo scopo giusto e per valori di z giusti. Cerchiamo di applicarla a una distanza reale e vediamo cosa ne viene fuori….

Prendiamo una galassia che ha mostrato un redshift di 7, ad esempio. Utilizzando la formula abbiamo il seguente risultato:

D = 95 miliardi di anni luce!

Ma possiamo anche andare oltre. La radiazione cosmica di fondo (la prima cosa che riusciamo a vedere dell’Universo) ha redshift di circa 1300 e quindi porta una distanza di circa 1013 anni luce, ossia diecimila miliardi di anni luce!

Ma siamo matti? Sappiamo benissimo che l’Universo ha 13.7 miliardi di anni e che la luce ha potuto percorrere in questo tempo al massimo questa distanza. Tutto sembra andare al diavolo, altro che modello di espansione!

Purtroppo molti divulgatori, che non hanno tenuto conto di questa netta differenza tra distanza vera e distanza apparente, non solo riportano conclusioni errate, ma, spesso, decidono che è giunta l’ora di cambiare il modello dell’Universo.

D’altra parte sembrerebbero avere ragione: com’è possibile vedere un oggetto che non può essere più vecchio di tredici miliardi di anni a una distanza di 95 miliardi di anni luce? Se questa fosse una vera distanza la luce non avrebbe certo avuto il tempo di raggiungerci.

Ciò che bisogna fare, innanzitutto, è utilizzare la formula di z riferita alla relatività ristretta.  Può bastare? No di certo. Sarebbe come mettere la polvere sotto al tappeto. L’errore vero è trattare l’espansione dell’Universo come se fosse un effetto doppler, ossia sostituire a velocità reali di allontanamento delle velocità che sono invece apparenti e dovute all’espansione dello spazio e non a un vero movimento dei corpi celesti.

Bisogna mettersi bene in testa che è lo spazio che si… allunga o si allarga o come preferite voi.

Per capire meglio la situazione bisogna entrare nella relatività generale, che ammette velocità maggiori di quelle della luce, quando chi si “muove” (o, meglio, si allarga) è lo spazio stesso. Per lui non ci sono limiti. Tuttavia, ci possono bastare alcune considerazioni di massima: la velocità di recessione non obbedisce alla relatività ristretta e non è vincolata a nessun limite superiore. La velocità è apparente così come diventa apparente anche la distanza trattata in termini “normali”.

Ne risulta un fatto indiscutibile, che deve sempre essere tenuto in conto: il redshift cosmologico non ha niente a che vedere con l’effetto doppler, anche se si possono usare formule analoghe. L’importante è saperle interpretare.

Voglio cercare di rappresentare, in modo molto semplificato, questa differenza fondamentale tra redshift cosmologico e effetto doppler. In particolare, evidenziare la netta differenza tra variazione di distanza (e quindi velocità) vera e apparente.

Non stupitevi se considero una sfera con i suoi meridiani e paralleli. Anzi, ci basta tagliarne una fetta  lungo i paralleli e studiare cosa capita. Prendiamo la Fig. 4. Sullo stesso parallelo si trova l’oggetto A e l’oggetto B. Possiamo definire due distanze tra di loro (restiamo sempre attaccati alla meccanica classica): quella angolare e quella lineare lungo la circonferenza.

Figura 4
Figura 4

Abbiamo due modi per far variare la distanza di A rispetto a B. Il primo è far prendere una macchina o un aereo a B e farlo andare in B’, in verso opposto ad A, lungo il parallelo. Sicuramente cambia la distanza reciproca. Attenzione, però, cambia sia la distanza lineare sia quella angolare. Il tratto circolare tra A e B’ è maggiore di quello iniziale così come è anche maggiore l’angolo ϑ’ rispetto a ϑ  (in parole povere stiamo facendo variare la longitudine di un luogo…).

Perfetto. In questo caso abbiamo un effettivo spostamento di A rispetto a B e chi lo conferma chiaramente è la variazione dell’angolo. L'oggetto si muove veramente e assistiamo a un effetto doppler.

Eseguiamo, adesso, una nuova operazione che porta a una variazione “apparente” della distanza tra A e B. Quale? Aumentiamo il raggio della circonferenza, come se gonfiassimo la sfera di partenza (non stupitevi certo se il raggio può essere considerato il tempo). Cosa succede? A si porta in A’’ e B si porta in B’’.

Si sono veramente spostati? Nemmeno per sogno: nessuno ha preso un aereo o anche solo un’automobile. La loro apparente variazione di distanza è solo dovuta al gonfiamento della sfera (ossia allo scorrere del tempo). Chi o che cosa lo può dimostrare senza ombra di dubbio? L’angolo al centro. Esso è sempre rimasto uguale a ϑ. Non vi è stata nessuna vera variazione di distanza, nessuna velocità di spostamento di A rispetto a B, ma solo un allargamento dello spazio tra di loro.

Ogni cosa che stava percorrendo il tracciato da A a B si è trovata a dover compiere un tragitto lineare più lungo, ma in realtà ha sempre compiuto una distanza angolare che non è cambiata. Cosa capita al nostro povero fotone con la sua lunghezza d’onda mentre viaggia tra A e B? Una cosa molto semplice: subisce anche lui un allungamento della lunghezza d’onda: E’ un po’ come se l’onda si stirasse. E più la sfera si gonfia e più il fotone si allunga (mi raccomando, cercate di capire l’essenza e non pensate a un fotone spaghettizzato!). Questa volta la velocità è apparente, mentre è reale la variazione di lunghezza d’onda. Proprio il contrario dell’effetto doppler.

Come possiamo misurare di quanto si è gonfiata la sfera? Basta vedere quanto tempo ha impiegato il fotone a raggiungere A" partendo da B (o viceversa). In realtà, vorrebbe percorrere BA, ma, mentre lo fa. lo spazio si allarga e giunge in A solo quando esso si trova in A"Più tempo è stato in quel percorso, che continua ad allungarsi come un elastico, e maggiore è stato il suo allungamento.

Cosa riusciamo allora a “calcolare” misurando z, ossia l’effetto di allungamento? Essenzialmente, il tempo impiegato dal fotone a effettuare il percorso.

Ovviamente, però, questo fatto porta a dire che se il fotone fosse partito da C (più lontano di A rispetto a B) avrebbe impiegato più tempo e sarebbe perciò più “allungato”. Non è difficile legare strettamente il tragitto compiuto dalla luce lungo la circonferenza con l’allungamento dell’onda. Oltretutto, più l’oggetto era distante da A all’inizio e maggiore è stata la sua apparente velocità di allontanamento (quella detta di recessione). In poche e precise parole: a ogni punto è associata una differente velocità di recessione, malgrado la sfera si allarghi in modo unico. Al crescere del raggio (tempo), cresce la circonferenza su cui stanno, senza muoversi assolutamente, i vari punti.

Ecco perché si parla di strane "distanze" tra A e B e tra C e B. Sono distanze apparentemente cresciute senza nessun movimento vero tra i punti di partenza e di arrivo. Come si potrebbe mai parlare di distanza percorsa in un tempo t se la velocità di spostamento non esiste? A e B non si sono assolutamente spostate!

L’unica velocità che è presente nel nostro gioco di gonfiamento è sempre e soltanto la velocità della luce che resta sempre la stessa (la velocità del fotone). Così come l’unico vero modo di determinare le distanze tra i punti è definirle come tempo impiegato dal fotone, che può essere collegato facilmente con la variazione della lunghezza d’onda e quindi con z.

La distanza angolare non cambia e quindi non vi è alcuna velocità dei corpi coinvolti. Ciò che cambia è una distanza apparente che potremmo tranquillamente trascurare e considerare come vera distanza la distanza angolare. Questa distanza prende il nome di distanza comovente,  una costante rispetto all’espansione della sfera. Ovviamente, una distanza costante che causa distanze lineari apparenti sempre diverse a mano a mano che il tempo scorre e la sfera si gonfia, ma anche velocità di recessione diverse a seconda della distanza relativa tra i punti. E questo gonfiamento nel tempo che, questa volta, è indicato dal redshift z che si lega in qualche modo alla velocità di recessione.

In altre parole, molto più corretamente, questa variazione di distanza apparente possiamo intenderla come cambiamento di scala del nostro disegno.

Possiamo pure applicare la legge di Hubble per misurare delle distanze, ma dobbiamo sapere bene con che “distanze” abbiamo a  che fare.

vediamo le cose  in modo leggermente diverso e cerchiamo anche di rispondere a domande che spesso si fanno e che hanno, altrettanto spesso, risposte molto lacunose  e ambigue.

Una prima domanda è la seguente: “E’ possibile che nell’Universo ci sia qualcosa che SEMBRI, oggi, viaggiare a velocità maggiore della luce?” La risposta è abbastanza complicata e cercate di seguirmi molto bene.

Potrei rispondere: “Sicuramente sì”. Tuttavia, stiamo bene attenti: ciò non vuol dire che l’Universo ha un tasso di espansione maggiore di quello della velocità della luce, ma solo che vi sono punti talmente lontani linearmente da noi che la velocità apparente di recessione può anche essere maggiore di quella della luce.

Ma, accidenti, come possiamo osservare al telescopio oggetti che stanno andando più veloci della luce? Sembra una vera assurdità.  Semplicissimo, invece: perché quando la loro luce è partita la sfera era molto meno gonfia e quindi la luce è riuscita ad arrivare fino a noi, anche se in tempi molto lunghi. La stessa radiazione cosmica di fondo, che stiamo osservando oggi, non si espande ancora con una velocità apparente superiore a quella della luce. Ma questo accadeva 13,4 miliardi di anni fa, proprio il tempo impiegato per raggiungerci dalla luce che osserviamo ora! Non dobbiamo mai dimenticare che stiamo osservando il passato degli oggetti e che il presente potrebbe essere ben diverso.

Se riuscissimo a vedere, dall’esterno, l’Universo odierno, scopriremmo che attualmente il limite per cui la velocità di recessione è superiore a quella della luce si trova a una “distanza” che corrisponde a un redshift z di circa 1.5. Tutti gli oggetti oltre questo confine, attualmente, sembrano muoversi a velocità superiori a quelle della luce. Noi continuiamo a vedere la loro immagine del passato, semplicemente perché miliardi di anni fa, quando i fotoni hanno lasciato l’oggetto, la velocità di recessione rispetto a noi non era ancora superiore a quella della luce. Per chiarirsi ancora meglio le idee, basta riferirsi al cono di luce...

Questo significa che un giorno non vedremo più questi oggetti? Esattamente! Quando, con il trascorrere del tempo, arriveremo all’istante in cui dovremmo ricevere i fotoni emessi quando il moto apparente si è trasformato in superluminale, vedremo l’oggetto affievolirsi lentamente per poi scomparire.

Questo capiterà per oggetti singoli, come una galassia, la quale rimane sempre la stessa e quindi occupa una posizione fissa mentre il tempo scorre. Il rumore di fondo è invece un qualcosa che esiste dappertutto (e, soprattutto, che esisteva dappertutto) e quindi vi sarà ancora una qualche parte di esso che è partito quando la velocità di recessione rispetto a noi  era ancora sotto il valore della velocità della luce e che ci raggiungerà domani e dopodomani.

Qualcuno potrebbe chiedermi: “Ma allora la velocità di espansione cambia con il tempo?” No, no, assolutamente no! Cambia solo la velocità di recessione che è una velocità apparente ed è tanto più elevata quanto maggiore è la distanza (lineare e quindi anche lei apparente) tra gli oggetti considerati.

La sua variazione non implica un cambiamento nel tasso di espansione dell’Universo. Quest’ultimo è il valore dato dalla costante di Hubble. Oltretutto è un valore costante per il momento OGGI, dato che dipende dal momento in cui riceviamo la luce delle varie galassie partita in tempi molto diversi. Domani, magari, la costante cambierà, dato che cambierà effettivamente il tasso di espansione dell’Universo.

Come avete notato, non ho assolutamente parlato di velocità di espansione dell’Universo che è un concetto piuttosto pericoloso che può portare a gravi confusioni. Non confondiamo, comunque, tasso di espansione e velocità di recessione. Il primo è qualcosa di reale (secondo il modello usato) e valido per tutto l’Universo (calcolato usando galassie non eccessivamente distanti, dato che anche la legge di Hubble diventerebbe inutilizzabile). La seconda è un qualcosa di apparente e che dipende solo dal tempo di cammino dei fotoni e che ricavo da z.

In conclusione: la velocità di recessione e quella che causa l’effetto doppler non hanno nulla in comune, sono due grandezze completamente diverse. Per comodità e per spiegare le proprietà dello spostamento, la velocità di recessione è interpretata come redshift per effetto doppler. In questo modo la relazione che si ricava è semplice e permette di mettere in evidenza alcune importanti proprietà dell’Universo, come appunto la legge di Hubble. Tuttavia, ricordiamo che ciò si può fare perché le velocità di recessione sono minori di quella della luce.

Visto che abbiamo fatto trenta, facciamo anche trentuno…

Redshift gravitazionale

Secondo la teoria della relatività generale, anche i fotoni sentono la forza gravitazionale a causa della distorsione dello Spazio-Tempo dovuta alle masse. In parole (molto) semplici, la luce sente la forza di gravità. Poiché i fotoni non hanno massa a riposo ma hanno energia, la forza di gravità fa diminuire quest’ultima, spostando la lunghezza d’onda verso il rosso.

Questo fenomeno è chiamato redshift gravitazionale e non ha nulla a che vedere né con l’effetto doppler né con quello cosmologico, sebbene l’effetto prodotto sia ancora una volta lo stesso.

Il redshift gravitazionale coinvolge grandezze fisiche diverse, in particolare legate alla forza gravitazionale prodotta dal corpo celeste che “devia” e “allunga” la luce. Una formula approssimata è la seguente:

z = Δλ/λ = (λ - λ0)/λ0 ≈ GM/(c2r).

Mamma che fatica! Spero che serva…

 

NEWS!! - La legge di Hubble ha ufficialmente cambiato nome, d'ora in poi di chiamerà LEGGE di HUBBLE-LEMAITRE. Il motivo ve lo raccontiamo QUI

40 commenti

  1. Alvermag

    Grazie Enzone. Adesso me lo studio attentamente. Ci passerò piacevolmente la serata e magari anche la mattina di domani.

    Grazie per lo sforzo che hai fatto. Immensamente grazie!!!

  2. caro Alvy,
    spero solo che serva o -meglio- che sia riuscito a descrivere al meglio i concetti di base. Per una trattazione più completa e esauriente... ci vorrebbero libri interi... L'espansione dell'Universo e le sue ricadute sono praticamente infinite! :wink:

  3. Paolo

    Caro Enzo, ho due domande da porre.

    La prima, più che altro è un tentativo di verificare se sto sedimentando o meno quanto penso di aver appreso dai tuoi articoli sulla matematica.

    Visto che nell'articolo quando descrivi l'effetto doppler, dici che con facili, ma noiosi passaggi matematici è possibile arrivare a dimostrare che Z=v/c, mi sono cimentato nella divertente impresa.

    Ho quindi creato un grafico al fine di trovare una relazione che leghi l'incremento della lunghezza d'onda, alla velocità di allontanamento della sorgente dal rilevatore.

    http://www.astrobin.com/full/38892/K/

    L'illustrazione, mostra che grazie alla proprietà dei triangoli isosceli di possedere cateti uguali (ciò è possibile proprio perché la velocità della luce è una costante rappresentabile come una retta inclinata di 45° (sia nei confronti dell'asse delle ascisse, che di quello delle ordinate), sia piuttosto facile dimostrare la seguente relazione:
    Sx/Xr-Xs = Ty/P

    ma Xr-Xs non è altro che la lunghezza d'onda (λ), nel caso in cui la sorgente sia ferma.
    Per cui:
    Sx/ λ = Ty/P
    La velocità con cui la sorgente si allontana dal rilevatore, non è altro che la distanza Sx percorsa in un tempo pari a (t2-t1), ossia P.
    v = Sx/P
    per cui:
    Sx= v P

    Sx, però rappresenta anche la differenza tra (Xr-Xa) – (Xr-Xs), ossia (λ1 - λ).

    Z = (λ1 - λ)/λ
    sostituendo Sx a (λ1 - λ) :
    Z = Sx/λ
    Sostituendo v P a Sx,
    Z = v P/λ
    dato che:
    c=λ/P
    1/c= P/ λ
    Sostituendo 1/C a P/λ:
    Z = v/c

    A parte l'imprecisione insita nel metodo, valido solo per velocità molto minori rispetto a quelle della luce, è' corretto?

    La seconda domanda, invece, riguarda proprio la costante di Hubble.

    In questo caso però non è la sorgente che si allontana dal rilevatore (che possiamo considerare ferme), ma lo spazio che li separa che si dilata.

    Le attuali misure sull'espansione dell'universo si attestano intorno ad un tasso di crescita pari a circa 67Km/sec per Megaparsec.

    Tale dato io lo leggo così: posti due oggetti ad una distanza pari a 1 Mpc (3.260.000 anni luce), un fotone partito dall'oggetto A un secondo dopo rispetto al suo fratellino, pur viaggiando alla medesima velocità, raggiungerà B un pochino più tardi.

    Infatti nel medesimo tempo di percorrenza il secondo fotone dovrà compiere ancora 68 Km prima di raggiungere B.

    Oltre a ciò, se invece di raggiungere l'oggetto B i fotoni dovessero decidere di raggiungere un oggetto C, posto a 100 Mpc da A, i Km in più da percorrere per il secondo fotone sarebbero ben 6.800 (68 x10), e l'intervallo di tempo tra il primo ed il secondo fotone sarebbe maggiore.

    Ciò che mi sono chiesto è a quale “distanza” tra A e D (un ipotetico nuovo e remotissimo oggetto) corrisponde un incremento (surplus) di spazio pari a 300.000 Km, ogni secondo

    La logica mi poterebbe ad individuare tale “distanza”, misurata in Mpc come pari a 300.000/68, ossia 4.411 Mpc (1Mpc = 3,26 milioni di anni luce), ossia a circa 14,3 miliardi di anni luce (più o meno l'età dell'universo).

    Mi sembra però che ci sia qualcosa che non funziona in questo ragionamento, in pratica mi mostri come hai ottenuto il risultato (peraltro errato) di una distanza apparente di 95 miliardi di anni luce per una galassia posta a redshift 7 ?

    Grazie mille.

    Paolo

  4. caro Paolo,
    la tua derivazione matematica è perfetta... stai diventando un mago!

    sul secondo problema, la faccenda è che non puoi applicare la legge di Hubble per distanze troppo grandi. Se l'applicassi troveresti proprio risultati assurdi. Non per niente Hubble l'ha derivata per galassie relativamente vicine. Questo ha permesso di trovare il coefficiente della retta tra v e D, ma non si può utilizzare per tornare indietro nel tempo e calcolare distanza troppo grandi. Il redshift va usato per determinare il tempo impiegato alla luce per giungere a noi, ma usare la legge di Hubble per determinare distanze non funziona. SE ho capito bene il problema....

  5. caro Paolo,
    posso consigliarti di fare una cosa per capire il problema legato alla determinazione di una distanza troppo remota nel tempo. Se vai a prendere i miei articoli sul cono di luce vedrai che la luce percorre una curva nello spazio tempo che non può essere riportata a una distanza ma solo al tempo impiegato. In poche parole dato un certo intervallo di tempo l'espansione fa perdere di senso al percorso spaziale percorso. Non è la distanza all'inizio e nemmeno quella attuale. Ha un senso solo quando il cono di luce si avvicina molto al tempo odierno, ossia nella necessità della distanza comovente...
    Spero che ti sia di aiuto... non è facile spiegare meglio a parole...

  6. Paolo

    Innanzitutto grazie per le risposte.
    Il concetto di distanza penso di averlo capito... in sintesi la distanza tra i due oggetti è rimasta la stessa (nessuno dei due si è mosso), è la luce che impiega più tempo per arrivare da un oggetto all'altro, poichè lo spazio nel frattempo si è dilatato, per questo ha senso parlare di tempo impiegato e non di distanza (il termine distanza l'ho messo apposta tra vorgolette).
    Semplicemente chiedevo come hai fatto a trovare una "distanza" di 95 miliardi, applicando un redshift 7 alla formula (inadatta per tali distanze).
    Mi sa che io faccio un pò di confusione con le unità di misura.

    Paolo

  7. Paolo

    Caro Enzo, provo a spiegare il mio dubbio.

    Se parto dalla formula
    z = (λ1- λ)/λ=u/c =H0D /c

    z c = HoD

    D = zc/Ho dovrei ottenere la “distanza” presunta (ed errata) in Megaparsec

    D = 7 (300.000)/67 = 2.100.000/67 = 31 343 Mpc

    1 Mpc = 3.260.000 a.l.

    (31.343) (3.260.000) = 102.179.000.000 a.l.

    So bene che tale risultato è assurdo e mostra i limiti della formula usata, solo che il risultato che ottengo è diverso da 95 miliardi che hai trovato tu.

    In ultimo, avevo già letto alcuni degli articoli che consigliavi e mi riprometto di rileggerli (sono sicuro che una rilettura adesso offrirà un sacco di nuovi spunti), prima però volevo terminare gli articoli sulla matematica (sono fermo alle iperboli).
    Se posso dare un consiglio sarebbe molto interessante, in futuro, realizzare come per la MQ e l'ottica ondulatoria, un mega articolone che raccolga i diversi interessantissimi articoli che hai scritto su spazio tempo- geometria universo e sua espansione (coni di luce, coordinate comoventi, ecc.).

    Paolo

    PS: non sono io che sono diventano un mago sono i tuoi articoli sulla matematica a costituire una formidabile pozione magica, un po' come quella usata da Asterix

  8. caro Paolo,
    ieri sera stavo per uscire e non avevo pensato molto alla tua vera domanda...
    Mi sa tanto che quello che hai calcolato tu e che hai trovato intorno ai 14 miliardi di anni luce non è altri che il raggio della sfera di Hubble! Ossia la distanza alla quale dovrebbe essere un oggetto per avere una velocità di recessione pari a quella della luce. Ne avevo scritto un paio di articoli...

    Sul risultato diverso, penso sia solo dovuto a un valore diverso di H0. Tu hai trovato 102 non molto diverso da 95. In effetti (devo essere sincero) non ho fatto il calcolo, ma l'ho preso da una fato già riportato in letteratura che però non dice quale costante ha considerato...

    Sì, tu hai ragione, potrei fare quello che dici. Il vero problema è che quando si parla di espansione e cose del genere, secondo quello che si vuole descrivere, si usano diverse approssimazioni grafiche e visive. Unire tutto fa anche cambiare di volta in volta le soluzioni grafiche scelte. Entrare nel formulario esatto diventa invece cosa da pazzi ( e io stesso non sono in grado di esprimere tutto in formule non essendo un cosmologo...) e mi limito a semplificazioni che mirano ai concetti più che ai numeri...

    Guarda, capisco che tu hai capito ( :lol: ) e che sei in grado di afferrare le vere diversità di fondo. Tuttavia, varrebbe forse la pena di far capire, in genere, ancora meglio il problema della distanza che viene scritta comunemente negli articoli e nei libri. Scrivo due righe per tutti che forse aiuta ancora un po' a far capire che le distanze sono qualcosa di molto aleatorio e che spesso portano a confusioni terribili.

    Comunque, ribadisco ancora, tu hai la capacità di arrivare subito ai noccioli dei problemi. Dico la verità: avrei voluto avere tanti studenti come te!!! :-D

  9. Alvermag

    Scusa Enzo, credo ci sia un errore nella formula dello spostamento verso il rosso relativistico posta sotto la figura 3. Credo sia sparito un -1 alla fine.

    Sulla seconda invece il formato del rapporto 1/2 lo declassa a semplice fattore (io, sia chiaro, non ho nulla contro i contadini) mentre si tratta di un esponente (di spicco per giunta ....).

    Perdonate la pedanteria ma se qualcuno ( :mrgreen: ) si volesse divertire a mettere alla prova dette formule potrebbe ottenere risultati erronei.

  10. caro Alvy....
    d'accordo ovviamente sul 1/2 (radice quadrata), ma sul fattore 1 direi che va bene così...

  11. Alvermag

    No Enzo, il fattore 1 (che è poi un addendo) si riferisce alla prima, non alla seconda formula.
    D'altra parte forniscono risultati diversi impostando lo stesso valore di v.

  12. ma sì, accidenti... va beh... ho inserito anche quella con v/c da una parte...
    sto andando in palla... troppe cose da fare assieme. Mi sa che mi metto veramente in pensione!!!! Adesso torno alla matematica... :mrgreen:

  13. Nicola Boso

    grazie, lo leggerò con passione poichè mi sono posto più volte la domanda...

  14. AlexanderG

    Caro Enzo,
    come al solito in ritardo, provo a farti una domanda semplice semplice per vedere se ho interpretato correttamente il redshift gravitazionale: una stella di neutroni "ferma" rispetto a noi, che ai telescopi appare di colore "rosso", in realtà potrebbe essere "blu"?

    Un carissimo saluto,
    Alex.

  15. sì, caro Alex... teoricamente sì... :wink:

  16. Alvermag

    Se interpreto in modo corretto il tuo TEORICAMENTE , caro Enzo, penso che il problema stia nella massa della pulsar, davvero ... ridicola ... se l'obiettivo è trasformare in rosso un fotone blu.

    Una pulsar di 3 masse solari produce un redshift gravitazionale pari a circa Z = 0,0002. Lo "stiramento" della lunghezza d'onda del fotone sarebbe pari a 0,02% della lunghezza d'onda originaria.

    Un buco nero di 1.000 masse solari produrrebbe un redshift GRAVITAZIONALE pari a circa Z = 0.07.
    Un redshift COSMOLOGICO equivalente (Z=0,07) è prodotto dall'espansione dell'universo ad una distanza di circa 1 mld a/l da noi, non trascurabile ma nemmeno straordinaria!
    Naturalmente ho ignorato il fatto che dall'orizzonte degli eventi la luce non può fuggire.

    Se consideriamo che il rapporto tra lunghezza d'onda rossa e blu è di almeno 1,5 ....

  17. certamente tutto dipende da quanto è curvato lo spaziotempo... :wink:

  18. Alvermag

    La curvatura dello S-T dipende dalla densità della materia attraente e dalla distanza a cui si trova il fotone dal centro di attrazione.
    Nei calcoli ho effettivamente scelto un valore della distanza che non ha un gran significato.

    Allora reimpostiamoli.

    Nel caso della pulsar di 3 masse solari consideriamo una distanza dal centro pari all'ipotetico raggio, cioè 20 km. A tale distanza dal centro di attrazione il redshift gravitazionale varrebbe: Z = 0,22

    Nel caso del BN da 1.000 masse solari consideriamo una distanza dal centro pari al raggio di Schwarzschild, 3.000 km (sempre ipotizzando la fuga del fotone). Il redshift gravitazionale varrebbe allora Z=0,5

    Se ne ottiene che, nel caso del BN, il rapporto delle lunghezze d'onda (osservata/emessa) varrebbe 1,5 , vale a dire proprio il rapporto che intercorre tra fotone rosso e blu.
    Possiamo quindi rispondere ad Alex che la sua ipotesi troverebbe piena conferma (teorica) proprio in questo caso!

    Corretto?

  19. peppe

    alvy, mi piacerebbe vedere te ed enzo discutere dal vivo, chissà che confronto ne esce..
    :mrgreen:

  20. caro Alvy,
    così andiamo meglio...
    caro Beppe,
    basterebbe portare tutto l'occorrente per medicazioni veloci... :mrgreen:
    Dai, chissà che non ci si riesca davvero: sarebbe bello poter parlare guardandosi negli occhi!!

  21. Alvermag

    ah ah ah Peppe,
    Enzo si presenterebbe con un bel telescopio, giusto per ... darmelo in testa!

    Speriamo davvero di poterci incontrare.

  22. AlexanderG

    Cari tutti,
    siete semplicemente fantastici :)

    Il mio ragionamento, in verità, era molto più "terra terra": senza l'aiuto di alcuna formula, ho provato ad usare semplicemente la logica; un buco nero ha la sua massa interamente contenuta all'interno del suo orizzonte degli eventi, non sappiamo di quanto, ma sappiamo che nessun fotone che si trovi sulla sua superficie potrà mai raggiungerci.
    Ora, prendiamo il caso "limite" in cui la superficie coincida con l'orizzonte degli eventi: in questo caso si potrebbe affermare che il fotone ci raggiungerà dopo un tempo "infinito", corretto?
    Se sì, allora il passo successivo è avere un oggetto la cui superficie si trovi "un pochino" al di là del suo orizzonte degli eventi, diciamo di un "epsilon" piccolo a piacere :)
    A questo punto immagino che i fotoni, in grado di scappare da questa superficie, arrivino a noi abbastanza malconci... non ho usato formule, quindi non so dire "quanto" malconci, però, se il baratro è lì vicino, questo "zeta" non sarà poi così piccolo.

    Augurandomi di non aver scritto corbellerie, per un eventuale raduno, contate pure su di me! :D

    Ciao,
    Alex.

  23. Alvermag

    Si, è chiaro che il fotone che si trovasse al di là dell'orizzonte degli eventi non potrebbe essere osservato.

    Nel nostro caso si suppone che il fotone si trovi appena al di qua di detto orizzonte; non ne conosciamo la storia precedente ma possiamo dire che, se osserviamo un fotone rosso in data posizione, possiamo dedurne che l'influsso gravitazionale del BN è intervenuto sul fotone originariamente blu.

    La formula del redshift gravitazionale rappresenta un'approssimazione. In quella formula compare, oltre alla massa M, soltanto la distanza R dal centro di attrazione. Non ci sono riferimenti cinematici per cui ci viene presentata una situazione"statica".

    Quello che credo si possa fare è calcolare Z per diverse distanze dal centro di attrazione e vedere come varia Z e quindi la lunghezza d'onda del fotone al variare della distanza stessa.

    Anzi, voglio provare a farlo, poi ci risentiamo.

  24. caro Alvy,
    prova, prova, ma questo mi fa pensare che tu abbia già RISOLTO il problema del naufrago!!! Vorresti mica lasciarlo in balia dei flutti????? Assassino!!!! :evil:
    Uffa! prima la fisica classica e poi le altre cose... Testone!!! :-o E io che sto scrivendo le trasformazioni di Lorentz solo per te :( ... non c'è più giustizia a questo mondo :mrgreen:

  25. Alvermag

    E dai Enzone, lo sai che queste cose mi mandano in brodo di giuggiole ...

    Ti confesso che il ... naufrago l'ho appena guardato ih ih ih!

    Va bene, ti prometto che entro la mezzanotte di oggi ti manderò la soluzione del nostro amico prima che anneghi, sempre sperando che sia giusta, altrimenti faremo un bel funerale ... acquatico con tanto di lancio di ghirlanda di fiori (nelle Hawaii si fa così no?)

    Testone io? :evil: :evil: :evil:
    Beh, effettivamente ... :roll: :roll: :roll:

  26. Alvermag

    A proposito di trasformazioni di Lorentz, cerca di non fare il furbo!!! :evil: :evil: :evil:

    VOGLIO IL TEMPO IMMAGINARIO!!!!! :evil: :evil: :evil: :evil: :evil:

    Se non sbaglio la piattezza dello spazio-tempo trova piena conferma se si utilizza it (tempo immaginario) nelle trasformazioni di Lorentz, che allora "ricalcano" il teorema di Pitagora.
    Se invece si sostituisce al tempo immaginario quello ... ordinario le cose cambiano. Tu mi dici che lo S-T di Minkowski è piatto per definizione ... mmmhhh non mi basta!
    Come si deve modificarne la rappresentazione per rimettere a posto le cose?

  27. Alvermag

    Ooops ho scritto trasformazioni di Lorentz.
    Ovviamente intendevo riferirmi all'espressione della separazione tra due punti-evento.

  28. caro Alvy,
    per adesso i numeri immaginari te li puoi scordare!!! La trasformazione di Lorentz e l'intervallo invariante arrivano lo stesso. Se poi non vedi lo spazio piatto... che dirti: usa il ferro da stiro! :mrgreen:

  29. Alvermag

    Sto preparando un commentino sul teorema di Pitagora applicato all'intervallo che separa due punti-evento.
    Appena è pronto te lo mando.

    Ah dimenticavo. Nel magnifico libro "Spazio, tempo e gravitazione" di Arthur S. Eddington - Universale Scientifica Boringhieri 1982 , nel capitolo 3 "il mondo a quattro dimensioni" viene per l'appunto trattata la questione del tempo immaginario per riportare l'espressione dell'intervallo in linea con il teorema di Pitagora (tutti i termini sono cioè portati in conto con il segno positivo).

    Accidenti, se equipariamo la quarta dimensione (quale che ne sia il significato) alle altre tre e pretendiamo che il teatro dell'azione (lo spazio-tempo) sia piatto, dovremo pur ricadere nel teorema di Pitagora quando calcoliamo la distanza (sia pure in modo generalizzato) tra due punti-evento!
    In effetti tutto torna in ordine se, in luogo del tempo ordinario, consideriamo quello immaginario.
    D'altra parte, nessuno ti chiede di spiegarne il senso recondito e filosofico. Si tratta solo d'introdurlo chiarendo che ha un legame con il tempo ordinario e ... vattelapesca.

    Proprio non mi vuoi accontentare eh? :evil: :evil:
    ... e vabbè ... che pazienza :mrgreen:

  30. Alvermag

    Con questo commento, che pubblico dopo aver avuto il beneplacito di Enzo, assolvo ad un impegno preso nei confronti di AlexanderG chiarendo, al contempo, le idee a me stesso!

    IL REDSHIFT GRAVITAZIONALE

    Nella tabella sottostante ho riportato il valore del redshift gravitazionale a diverse distanze dal centro di attrazione (anche centro geometrico) di un buco nero della massa di 1.000 Soli.
    Ho applicato l’espressione canonica: Z = G*M/(c^2*R)

    Tabella 1:

    VARIAZIONE di Z con la distanza R (M = 1.000 MS)
    R = 1*Rs - Z=0,496 - λoss / λem=1,496
    R = 2*Rs - Z=0,248 - λoss / λem=1,248
    R = 3*Rs - Z=0,165 - λoss / λem=1,165
    R = 4*Rs - Z=0,124 - λoss / λem=1,124
    R = 5*Rs - Z=0,099 - λoss / λem=1,099
    R = 6*Rs - Z=0,083 - λoss / λem=1,083
    R = 7*Rs - Z=0,071 - λoss / λem=1,071
    R = 8*Rs - Z=0,062 - λoss / λem=1,062
    R = 9*Rs - Z=0,055 - λoss / λem=1,055
    R = 10*Rs - Z=0,050 - λoss / λem=1,050

    in cui Rs è il raggio di Schwarzschild.

    Le distanze in tabella sono multipli del raggio di Schwarzschild: si va da 1*R a 10*R. Si vede come ad una distanza pari ad appena 10 volte il raggio di Schwarzschild (circa 30.000 km) la lunghezza d’onda è “stirata” di solo il 5% rispetto al valore originario.
    Questa tabella non ci dà però la situazione dinamica: sappiamo soltanto che un fotone che si trovasse ad una certa distanza dal centro di attrazione ne avrebbe un redshift pari a …
    Ma cosa accade seguendo il progressivo allontanamento del fotone dal buco nero?
    Riprendiamo la formula del redshift:
    Z = G*M/(c^2*R)

    Deriviamola rispetto alla distanza r:
    dz/dr = [G*M/(c*R)^2]

    in cui:
    R è la distanza presa a riferimento.
    dr è l’elementino di distanza che sopravanza R
    dZ è la variazione del redshift quando ci si sposta di dr.

    Tabella 2:

    Incremento dZ con la distanza dr (M = 1.000 MS)
    R = 1*Rs - dZ/dr=1,65*10^-7
    R = 2*Rs - dZ/dr=4,14*10^-8
    R = 3*Rs - dZ/dr=1,84*10^-8
    R = 4*Rs - dZ/dr=1,03*10^-8
    R = 5*Rs - dZ/dr=6,62*10^-9
    R = 6*Rs - dZ/dr=4,60*10^-9
    R = 7*Rs - dZ/dr=3,38*10^-9
    R = 8*Rs - dZ/dr=2,58*10^-9
    R = 9*Rs - dZ/dr=2,04*10^-9
    R = 10*Rs - dZ/dr=1,65*10^-9

    Si notano due caratteristiche, peraltro attese:
    Allontanandosi dalla sorgente del campo gravitazionale, il differenziale va diminuendo: una sorta di effetto mareale agente sui fotoni.
    Inoltre, se la distanza diviene decuplicata, il differenziale diviene un centesimo, come si evince dalla formula.

    Facciamo un esempio: se il fotone si trova ad una distanza di 4 raggi di Schwarzschild dal centro del nostro buco nero, l’allontanamento di un metro produrrà la variazione di 1,03*10^-8 del redshift. Questa variazione (aumento) andrà aggiunta al redshift spettante alla distanza in questione (4Rs):
    Z(4Rs+1m) = 0,124 + 1,03*10^-8

    Che succede se spingiamo l’integrazione ben oltre il metro? Ad esempio ci spostassimo di un altro raggio di Schwarzschild? Vediamo:
    ΔZ(da 4Rs a 5Rs) = (6,62*10^-9)*(3*10^6) = 0,0198
    Il redshift del fotone che si sposta da 4Rs a 5Rs sarà:
    Z(4Rs+1Rs) = 0,124 + 0,0198 = 0,144

    La tabella 1 riporta, per una distanza pari a 5Rs, un redshift di 0,099 mentre il nostro calcolo riporta il valore di 0,144.
    Perché questa differenza?

    Nel primo caso (tabella 1) si considera un fotone che si venga a trovare a quella distanza (5Rs) senza aver subito in precedenza alcun influsso gravitazionale (situazione “statica”).

    Nel secondo caso, quello da noi analizzato, si tiene conto del fatto che alla distanza finale (5Rs) il fotone è pervenuto a partire da una posizione (4Rs) alla quale già era presente l’influsso gravitazionale (situazione “dinamica”).

    Spero di essere stato sufficientemente chiaro.

  31. SuperMagoAlex

    Alvy tu parli di centro di attrazione, anche geometrico... ma di cosa si tratterebbe?
    Un buco nero, al pari del big-bang, non ha un centro :roll:

  32. AlexanderG

    Chiarissimo Alvermag,
    è evidente dalle formule da te ricavate che, prendendo la massa di una stella di neutroni, il redshift gravitazionale è veramente insignificante... forse è per questo che è così difficile trovare le famose onde gravitazionali.

    Ciao,
    Alex.

  33. cari ragazzi,
    mi raccomando di non esagerare a strabordare... Si potrebbe creare confusione nei lettori normali. I buchi neri saranno trattati con calma e la massima completezza possibile non appena avrò più tempo a disposizione. Si rischia di creare un po' di caos... Ad esempio le onde gravitazionali nascono da masse in accelerazione e non solo per la gravità e la curvatura dello spaziotempo... Esiste poi un centro dell'orizzonte degli eventi... e via dicendo. Non dimentichiamo, poi, che i buchi neri ruotano e certi calcoli diventano puramente simbolici. Molto meglio limitarsi ai concetti e non divertirsi con problemi troppo limitati al gruppo che riesce a seguirli...

    Abbiamo già pochissime risposte per i quiz di meccanica classica, figuriamoci se entriamo nel campo della relatività generale applicata ai casi limite e alle singolarità! La mia idea era di arrivarci attraverso l'estensione di Minkowski verso Penrose. A piccoli passi, senza mettersi a correre o a entrare in dettagli da "elite".

    Sto lottando contro il tempo per andare avanti con la relatività ristretta, inserisco quiz per far capire che prima di parlare di curvature strane e di effetti relativistici è ASSOLUTAMENTE necessario passare attraverso la cinematica e la dinamica di base. Non voglio che si finisca a parlare di multiversi, di Big Bang sì o no, di 12 dimensioni, di teorie del tutto, di stringhe e lacci da scarpe, senza prima entrare veramente nel mondo della fisica.

    Di blog o forum o siti del genere ce ne sono già troppi e non servono assolutamente a niente, tantomeno a fare vera divulgazione! Il nostro vuole fare proprio il contrario: dare le basi e, quando è il caso, entrare nei dettagli con le spalle robuste e non volando a casaccio (non fatemi rifare l'esempio di Picasso...).

    Invito perciò Alvy, che è sicuramente molto bravo e che smania di affrontare problemi di livello superiore, di adattarsi a un blog per principianti, per appassionati e per persone che vogliono imparare con ordine. In fondo siamo già riusciti a parlare di MQ, di QED e di tanti altri argomenti "moderni" senza venir meno alla semplicità.

    Vi chiedo un aiuto anche in questo. Fatemi vedere che siete in grado di affrontare la fisica di base, di seguire -magari con domande e con commenti ad hoc- gli argomenti che affronto di volta in volta (tipo la relatività ristretta, dove non vi sono grandi commenti eppure è la base di tutto e non è così semplice come sembra...).

    Soprattutto in questo momento, in cui il tempo mi si è ristretto di molto, non datemi lavoro extra o necessità di intervenire oltre ai programmi che cerco di mandare avanti con un minimo di regolarità...

    GRAZIE!!! :-P

  34. Alvermag

    Non volevo sollevare un vespaio.
    Mi sono limitato a giocare un pò con la formula del redshift gravitazionale per evidenziarne un uso più completo.
    Mi rendo pienamente conto del fatto che si tratta di un esercizio puramente teorico che non tiene conto di varie questioni; tuttavia, mi pare risponda a domande che inevitabilmente ci si pone quando si analizza il redshift gravitazionale.

    Se mi si passa l'analogia, somiglia al caso della formula della gravitazione universale di Newton in cui non compare il tempo; quella formula fornisce una fotografia istantanea (e quindi statica) dell'interazione gravitazionale. Cosa succede dinamicamente? Come variano (con continuità) le grandezze cinematiche di un oggetto in moto in un campo gravitazionale? Per scoprirlo bisogna applicare la cinematica alla formula di Newton.

    Bene, la pianto qui, altrimenti Enzo mi ... uccide!

    Del resto, in una classe c'è sempre lo scolaro più discolo.
    Va bene, ho capito, me ne torno dietro la lavagna ... :oops: :roll:

  35. meno male che ho assistenti pazienti e comprensivi... :mrgreen:

  36. Davide Dellepiane

    Vi chiedo un'aiuto. Se oggi misuro il redshift di una galassia (diciamo z=0.3) e poi lo rimisuro tra qualche tempo, il suo valore sarà uguale a 0.3 oppure maggiore o minore? E per quale motivo?

    Grazie per la spiegazione,
    Davide

    :)

  37. caro Davide,
    dipende da cosa intendi per "tra qualche tempo". L'Universo si espande secondo la legge di Hubble e per vedere cambiamenti misurabili dovresti aspettare parecchi milioni di anni...

  38. Davide

    Grazie Vincenzo,

    In effetti non avevo considerato la scala del tempo e con il termine "tra qualche tempo" intendevo qualcosa di piu' limitato alla nostra vita, magari la differerenza tra misurarlo oggi e quarant'anni piu' tardi.

  39. Mauro Castagneto

    ottimo, chiaro e definitivo.

    persino in un articolo dell'inaf si confondeva il redshift cosmologico con l'effetto doppler.

    alle mie rimostranze l'articolista mi ha risposto che intanto la gente comune non capisce queste differenze.

    io credo che non le avesse capite lui.

  40. Eh sì, caro Mauro... la divulgazione scientifica spesso segue le regole mediatiche. Poco si fa per far capire, basta imbonire con parole più o meno difficili. Inoltre Media INAF lascia questo compito a persone che di astronomia non sempre sono veri esperti, anzi...

    In ogni modo, grazie per l'apprezzamento. Il nostro scopo non è mediatico, ma è solo quello di cercare di aiutare nella comprensione del meraviglioso universo. Un piacere per noi e per chi ci legge...

    non ci lasciare... :wink:

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